Otras carreras ¿Qué son los espinores y las matrices de Dirac?

[alexpglez]

Hola, me preguntaba qué son las matrices de Dirac y los espinores desde un punto de vista matemático.
Por la definición de las matrices:

$$\gamma^{\mu}\gamma^{\nu} =g^{\mu \nu} \otimes I_{n}$$

Siendo n el número de dimensiones totales existentes. Comparando esta expresión y el producto invariante:

$$\gamma_{\mu}A^{\mu}$$

Se parecen además bastante las matrices gamma, con los vectores de bases vectoriales:

$$\hat e^i \cdot \hat e^j= g^{i j}$$

$$\vec A=A^i e_i$$

Así que, mis preguntas son claras, ¿qué son las matrices gamma? ¿Por qué la relación tan intrínseca con los vectores de la base?
Además, si jugamos en vez de con magnitudes $A^{\mu}$, con operadores $\hat A^{\mu}$, la amplitud de probabilidad que representa el estado de un sistema, tiene que ser necesariamente un vector de dimensión n (para que la probabilidad sea un escalar entre otras cosas), y se le llama también spinor. ¿Qué es un spinor y por qué tiene nombre de "giro", o en otras palabras, cómo se puede deducir que la redefinición de una ecuación mediante estas matrices (la ecuación de Dirac), implica que éstas giren en un análogo "clásico"?

Saludos, gracias por adelantado.

[carroza]

Re: ¿Qué son los espinores y las matrices de Dirac?

Hola.

Un espinor, en mecánica cuántica relativista, es un conjunto de funciones de onda (4 para particulas de espin 1/2, 8 para particulas de espín 3/2), cuyo cuadrado da la densidad de probabilidad de que tengamos la particula en un estado de energia positiva o negativa, y con una cierta proyección del espin. Es conveniente representar el espinor como una matriz columna (4x1 para espin 1/2, 8x1 para espin 3/2). El conjugado del esponor es una matrix fila (1x4 para espin 1/2, 1x8 para espin 3/2).

Las matrices gamma son cuatro matrices, con coeficientes constantes, de dimensión 4x4 para espín 1/2 y 8x8 para espin 3/2. La utilidad de las matrices gamma es que la expresión:

corriente = espinor conjugado x matriz gamma x espinor

da lugar a cuatro cosas (cuatro componentes de la corriente), que se comportan como un cuadrivector frente a transformaciones de Lorentz.

La relacion de las matrices gamma con las rotaciones surge de que, el hamiltoniano relativista debe ser invariante frente a rotaciones. Eso implica que conmuta con un operador, el momento angular total, que contiene no solo $\vec L = \vec r \times \vec P$, sino también una cierta combinación de las matrices gamma, que se identifican con el espín.

Saludos

[alexpglez]

Re: ¿Qué son los espinores y las matrices de Dirac?

Hola, siento reponder tan tarde. El caso es que un día leyendo por wikipedia enlazaba a este enlace donde habla sobre "spacetime algebra": https://en.wikipedia.org/wiki/Spacetime_algebra
Y no entiendo muy bien el significado de las matrices gamma, y productos por ejemplo: $A_{\mu} \gamma ^{\mu}$
Por ejemplo, el si: $ds^2=dx_{\mu}dx^{\mu}$
Por la definición de las matrices gamma no podría decir, por ejemplo: $I_n \otimes ds=\gamma^{\mu}dx_{\mu}$
¿Qué significado tiene esa ecuación matricial que me genera tal producto?

[carroza]

Re: ¿Qué son los espinores y las matrices de Dirac?

Hola. $\gamma^\mu$ son cuatro matrices 4x4, que actuan sobre los espinores.

$A_\mu \gamma^\mu$ es un producto de las componentes del campo electromagnético y las matrices 4x4, que tiene la propiedad de que la expresión:

Espinor conjugado x $A_\mu \gamma^\mu$ x espinor,

es invariante frente a transformaciones de Lorentz.

Por tanto, es el tipo de expresión que queremos en la densidad lagrangiana de una teoría relativista y cuántica de campos.

Saludos

[alexpglez]

Re: ¿Qué son los espinores y las matrices de Dirac?

Creo que con estas bases, en cuanto pueda meterme de lleno con el Landau (que he ido leyendo sin revisar los cálculos detenidamente, obviamente), puedo hacerme una idea del significado físico.
Ahora me preguntaba el matemático. Según he revisado y no entendía hasta ahora era:

$$Q=<br /> \begin{pmatrix}<br /> x+yi & z \\<br /> -z & x-yi <br /> \end{pmatrix}<br />$$

Su determinante da $x^2+y^2+z^2$ coincidente con el módulo de un vector, y podemos poner la matriz como combinación lineal $Q=\vec r \cdot \vec \sigma$.

Creo que eso es lo que inicia el estudio del cálculo geométrico, una manera de estudiar esto de manera ordenada: http://geocalc.clas.asu.edu/

Era esto último que expongo a lo que más me refería, supongo que lo que me toca ahora sería estudiar este cálculo geométrico.

Sólo una duda más, como el producto interno de las matrices gamma da el tensor métrico en geometría plana hiperbólica. Las matrices gamma estarían en función de la métrica en coordenadas curvilíneas, quiero decir, estarían en función de las coordenadas y serían matrices variables¿?

Gracias, un Saludo.