1r ciclo Preguntas de algebra lineal, ejercicio.

[geronimohelguera]

Hola como estan, tengo una serie de preguntas sobre algebra:

1. ¿ Las rectas en R3 son paralelas cuando possen el mismo vector direccion? es decir las componentes del vector direccion de una tiene que ser exactamente igual a las componentes del vector direccion de la otra?

2. Por que el angulo que forma una recta en R3 con un plano es el complementario del angulo que forma el vector direccion de la recta y el vector normal al plano?.Eso geometricamente no lo veo.

3. Tengo el siguiente problema es para vectores en R3(punto 10):


No se como encararlo, si digamos mi incognitas son los modulos, pero no tengo sus componentes, se que el producto escalar de (u-v).u me da 0. Pero de ahi nose como seguir si por el lado de las componentes o sigo con los modulos.

Bueno esas son mis dudas, gracias, saludos

[Richard R Richard]

Re: Preguntas de algebra lineal, ejercicio.

a) si es correcto, aunque en realidad el modulo del vector puede ser distinto y no importa el sentido, en cuyo caso tendra como factor de proporcionalidad un valor negativo,

es decir el vector dirección de una se puede obtener exactamente multiplicando el vector direccion de la otra por cualquier escalar salvo el 0.

b) la definicion de complementario es el angulo que falta para llegar a completar 90°. La normal a un plano y tiene 90° con respecto al plano , si la recta tiene $\alpha$ con recpecto al plano , entonces tiene $90\°-\alpha$ con respecto a la normal y este angulo es es el complementario de $\alpha$

c) es sencillo, si $\overline{(u-v)} \perp \overline u \mapsto \:\overline{(u-v)}\cdot \overline u=0 \mapsto \overline u =\overline v$

luego $|\overline{(u+v)}|=|2\overline u|=2|\overline u|=\sqrt 7$

luego $|\overline u|=|\overline v|=\dfrac{\sqrt {7}}{2}$

[geronimohelguera]

Re: Preguntas de algebra lineal, ejercicio.

perfecto muchas gracias, el modulo no seria el escalar 2 dividiendo la raiz de 7?

[Richard R Richard]

Re: Preguntas de algebra lineal, ejercicio.

no, pero si corregi el error que habia.

[Al2000]

Re: Preguntas de algebra lineal, ejercicio.

...
c) es sencillo, si $\overline{(u-v)} \perp \overline u \mapsto \:\overline{(u-v)}\cdot \overline u=0 \mapsto \overline u =\overline v$

luego $|\overline{(u+v)}|=|2\overline u|=2|\overline u|=\sqrt 7$

luego $|\overline u|=|\overline v|=\dfrac{\sqrt {7}}{2}$

Camarada, primero que nada déjame decir que te has sacado una notación extraña de la manga, con esa suerte de factorización de flechitas que, de paso sea dicho, no son flechitas.

No es cierto en general que si $(\vec u - \vec v) \cdot \vec u$ = 0 se cumpla que $\vec u = \vec v$. Hay tres casos posibles: que $\vec u = \vec v$, que $\vec u = \vec 0$ o que $(\vec u - \vec v) \cdot \vec u = \vec u \cdot \vec u - \vec u \cdot \vec v = u^2 - u v \cos \theta = 0 \quad \Rightarrow \quad u = v \cos \theta$. Como $v \cos \theta$ es la proyección de $\vec v$ en la dirección de $\vec u$, tenemos que la condición es que $\vec u$ y $\vec v$ sean respectivamente un cateto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Entonces el otro cateto, $\vec u - \vec v$, será perpendicular al primero.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: Preguntas de algebra lineal, ejercicio.

Hola Al tienes razon con la respuesta , jamas se me paso por la mente esa posibilidad hasta que te lei

Cuando hacia \vec {(u-v)} la flecha del vector en Latex me quedaba sobre el signo menos por eso opte por esa notación que me cubra toda la operación pues era un unico vector no quería expresarlo como tu $(\vec u - \vec v)$

pense que $u_i^2-u_iv_i=0 \Rightarrow u_i=$ o $u_i= v_i \: \forall i$ que puede ser cierto pero como tu dices no es regla general

si $\vec u$ era 0 entonces $\vec v$ puede ser cualquiera de modulo $\sqrt 7$ no me parecia la solución acertada al problema.

en este tercer caso $|\vec v|=\sqrt{|\vec u|^2+|(\vec u-\vec v)|^2}=\dfrac{|\vec u|}{\cos \theta}$ pues ya sabemos a priori que son ortogonales

entonces $|\vec v+ \vec u|=\sqrt{|2\vec u|^2+|(\vec u-\vec v)|^2}=\sqrt{|2\vec u|^2+ |\vec v|^2-|\vec u|^2 }$$=\sqrt{3|\vec u|^2+ |\vec v|^2}=\sqrt{3|\vec u|^2+ \dfrac{|\vec u|^2}{\cos^2 \theta}}=|\vec u|\sqrt{3+\dfrac{1}{\cos^2\theta}}=\sqrt 7$

entonces hay infinintos valores de los modulos en función de $\theta$

$|\vec u|=\dfrac{\sqrt 7}{\sqrt{3+\dfrac{1}{\cos^2\theta}}}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

cuando $\theta=0$ sería un caso particular donde $|\vec u|=|\vec v|=\dfrac{\sqrt {7}}{2}$

[Al2000]

Re: Preguntas de algebra lineal, ejercicio.

Lo que me da la impresión es que no leíste en el enunciado que el ángulo entre los vectores es dato (60°). Haciendo algo menos enrevesado que lo que planteaste, la solución sería:

Usando la ley del coseno:

$$|\vec u + \vec v|^2 = u^2 + v^2 + 2 u v \cos \theta = (v \cos \theta )^2 + v^2 + 2 (v \cos \theta ) v \cos \theta = v^2 (1 + 3 \cos^2 \theta )$$

Entonces

$$v = \frac {|\vec u + \vec v|}{\sqrt {1 + 3 \cos^2 \theta }} = \frac {\sqrt 7}{\sqrt {1 + 3/4}} = 2$$

$$u = v \cos \theta = 2 (1/2) = 1$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: Preguntas de algebra lineal, ejercicio.

Lo que me da la impresión es que no leíste en el enunciado que el ángulo entre los vectores es dato (60°).

Stevie Wonder conduce un F1 al lado mio
$|\vec u|=\dfrac{\sqrt 7}{\sqrt{3+\dfrac{1}{\cos^2 60\°}}}=1<br />$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[geronimohelguera]

Re: Preguntas de algebra lineal, ejercicio.

El teorema del coseno no es -2.U.V.cosx en vez de +2.U.V.cosx?

[carmelo]

Re: Preguntas de algebra lineal, ejercicio.

Hola. El signo es positivo.

$|\vec{u}+\vec{v}|^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2|\vec{u}||\vec{v}|\cos \theta$

En este caso es el módulo (al cuadrado) de la suma de los vectores. Gráficamente es la diagonal del paralelogramo que se utiliza para esquematizar la suma de dos vectores.

Sería negativo en caso de :

$|\vec{u}-\vec{v}|^2=(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$

Es ésta última expresión la que utilizamos cuando deseamos obtener un tercer lado de un triángulo conociendo 2 y el ángulo que forman ellos. Si realizas la representación gráfica de $|\vec{u}-\vec{v}|$, verás que se corresponde con este caso.

Ambos se pueden ver como ley o teorema del coseno, sólo hay que saber que significa cada uno para utilizar el signo correcto y sino realizar este pequeño desarrollo para salir de dudas.

Saludos
Carmelo

[Al2000]

Re: Preguntas de algebra lineal, ejercicio.

El teorema del coseno no es -2.U.V.cosx en vez de +2.U.V.cosx?

Si, donde "x" es el ángulo opuesto al lado que se calcula. Si haces el dibujo del triángulo para sumar los dos vectores, verás que "x" es el ángulo suplementario del ángulo que forman los dos vectores. Si lo prefieres escribe

$$|\vec u + \vec v|^2 = u^2 + v^2 - 2 u v \cos (\pi - \theta)$$

que por supuesto es exactamente lo mismo pues $\cos(\pi - \theta ) = - \cos (\theta )$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD. Carmelo, tienes lo que pienso debe ser un error de edición. Donde pusiste $|\vec{u}+\vec{v}|^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2|\vec{u}||\vec{v}|$ debería decir $|\vec{u}+\vec{v}|^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2\vec{u} \cdot \vec{v}$. Similarmente en la otra expresión.

[carmelo]

Re: Preguntas de algebra lineal, ejercicio.

...
PD. Carmelo, tienes lo que pienso debe ser un error de edición. Donde pusiste $|\vec{u}+\vec{v}|^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2|\vec{u}||\vec{v}|$ debería decir $|\vec{u}+\vec{v}|^2=(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v})=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+2\vec{u} \cdot \vec{v}$. Similarmente en la otra expresión.

Correcto Al. "Me quede entre San Juan y Mendoza como se dice por América del Sur" (A mitad de camino).

Ya lo edité.

Saludos
Carmelo