Otras carreras Rotaciones

[alexpglez]

Buenas, quería preguntar, qué es una rotación, matriz de rotación y tensor y vector velocidad angular¿?

Primero querría aclararme en espacios euclídeos (3D) para luego entenderlo mejor en espacios de minkowsky o generales.

Según he ido leyendo la mejor definición sería:

$$x'=Ax \;\;\; AA^T=I \;\;\; det(A)=+1$$

La segunda ecuación deducida de $x'^Tx=x^Tx$, y la tercera ecuación de la segunda y la noción que un determinante negativo implica que la matriz describe una inversión + una rotación de los ejes, imposible realizando una sola rotación (esto es una inversión de los ejes tipo cuando miras al espejo).

Ahora bien, mi duda del tensor velocidad angular, la tengo a la hora de deducirlo, he visto 2 maneras y querría proponer una tercera.
1) Mediante un dibujo, se ve que rotando un disco, cada punto del disco se obtiene, despreciando términos infinitesimales de orden superior: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] De aquí, por la regla del sacacorchos o mano derecha, se obtiene el sentido del producto vectorial:

$$d \vec r = d \vec \theta \times \vec r$$

Siendo $d \vec \theta=\hat n d \theta$, con $\hat n$ vector unitario perpendicular al plano de giro.

La deducción aquí del tensor correspondiente es por la propiedad matemática de que se puede encontrar una matriz A 3x3 tal que, y solo dependa del vector a:

$$\vec a \cdot \vec b=Ab \;\;\; A^T=-A$$

2) Mediante una aproximación. Tenemos que para rotaciones infinitesimales:

$$x'\approx (I+E)x$$

Luego:

$$A\approx I+E$$

Pero la inversa de la matriz, despreciando infinitesimales de orden superior:

$$A^T=A^{-1} \approx I-E \;\;\; AA^{-1}\approx(I+E)(I-E)=I+E^2 \approx I$$

Por tanto $A^T \approx I-E \;\;\; E^T=-E$
De dónde se deduce que E representa la rotación infinitesimal. Luego:

$$x'\approx (I+E)x \;\;\; x'-x \approx Ex$$

Y finalmente:

$$dx = d\Omega x$$

3) Matemático.

$$x'=Ax$$

$$\dot x'=A \dot x+\dot A x$$

Pero

$$AA^T=I \;\;\; \dot(AA^T)=0 \;\; \dot A A^T=-A \dot A^T \;\;\; \dot A=-A \dot A^T A$$

:
Por tanto:

$$\dot x'=A (\dot x- \dot A^T Ax)$$

Calculemos si $M=-\dot A^T A$ es antisimétrico:$M^T=-M$. Utilicemos la igualdad:

$$A^TA=I \;\; \dot A^T A=-A^T \dot A$$

$$M^T=-(\dot A^T A)^T=-A^T \dot A=\dot A^T A=-M$$

Entonces tal matriz sería un buen candidato para ser el tensor velocidad angular. Pero no tengo idea de como apañar lo que me queda, ni que simbolizan muy bien cada cosa. Llamando sistema O al que está en reposo, y O' al que está en rotación. Creo entender que:
$\dot x'$, representa la velocidad total en el sistema O.
$\dot x$ representa la velocidad de traslación de la partícula en el sistema O'.
$A \dot x$ representa la velocidad de traslación de la partícula en el sistema O.
$Mx$ representa la velocidad de rotación en el sistema O'¿???
$AMx$ representa la velocidad de rotación en el sistema O.
$\dot x+Mx$ representa la velocidad total en el sistema O'.¿????



Tendría más dudas, pero querría preguntar primero sólo esto para luego continuar con el resto de preguntas.

Gracias, un saludo.

PD: con $\dot A$ simbolizo la derivada con respecto al tiempo.

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Ampliando mis dudas, querría preguntar como se obtiene A a partir del movimiento relativo de las dos. Imaginemos la rotación sobre un solo eje:

$$A=<br /> \begin{pmatrix}<br /> \cos \theta & \sin \theta \\<br /> - \sin \theta & \cos \theta<br /> \end{pmatrix}<br />$$

Imaginamos que queremos encontrar a partir del movimiento relativo la transformación $A(\frac{d \vec r}{dr}$ donde r es el vector posición relativo.
Tenemos que $\cos \theta= \frac{dx}{dr}$ y $\sin \theta=\frac{dy}{dr}$. Entonces la matriz quedaría:

$$A=<br /> \begin{pmatrix}<br /> \frac{dx}{dr} & \frac{dy}{dr} \\<br /> - \frac{dy}{dr} & \frac{dx}{dr}<br /> \end{pmatrix}<br />$$

Si ahora lo realizamos con la matriz de transfroamción de Lorentz:

$$A=<br /> \begin{pmatrix}<br /> \gamma & -\beta \gamma \\<br /> -\beta \gamma & \gamma<br /> \end{pmatrix}<br />$$

Calculamos: $\frac{dx}{ds}=\gamma\frac{dx}{cdt}=\gamma \beta$, $c\frac{dt}{ds}=\gamma$
Entonces:

$$A=<br /> \begin{pmatrix}<br /> \frac{dct}{ds} & -\frac{dx}{ds} \\<br /> - \frac{dx}{ds} & \frac{dct}{ds}<br /> \end{pmatrix}<br />$$

Que es idéntica a la otra, excepto el signo menos del $a_{12}$.

Mi pregunta es, cuál sería el método general para hallar la matriz de rotación¿?

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Alguien me sabría responder¿?
Saludos