Avanzado Distancia a un punto en una metrica no euclidea.

[gaudius]

Distancia a un punto en una metrica no euclidea.

Hola.
¿Como se calcula la distancia a un punto (x,y) en esta metrica?

$\dst{^{(3)}g_{uv}=\begin{bmatrix} \frac {1-ky^2}{1-k(x^2+y^2)} & \frac {2kxy}{1-k(x^2+y^2)}\\ \frac {2kxy}{1-k(x^2+y^2)} & \frac {1-kx^2}{1-k(x^2+y^2)}\end{bmatrix}}$

Esto es la misma metrica que en polares $\dst{(r,\varphi)}$ tiene esta forma:

$\dst{^{(3)}g_{uv}=\begin{bmatrix} \frac {1} {1-kr^2} & 0\\ 0 & r^2\end{bmatrix}}$

Y que la distancia a un punto $\dst{(r,\varphi)}$, para k>0 y $\dst{r <\frac{1}{k^{\frac{1}{2}}}}$ vale:

$\dst{d=\frac {1}{k^\frac {1}{2}} sen^{-1} k^{\frac {1}{2}} r}$

Y si quiero que la curvatura 'k' solo afecte a la coordenada 'y'. ¿Como seria la metrica?

Saludos.

[gaudius]

Algo tan simple como esto:

$\dst{dd^2=A\;dx^2+B\;dy^2+C\;dx\; dy}$

No sé resolverlo ni de forma analitica ni por calculo numerico.
Saludos.

[Richard R Richard]

Hola gaudius yo recuerdo haber visto el calculo de la distancia al origen elemento de linea de coordenadas como

$ds^2=\dst \sum \limits_{u=1}^{n}\sum\limits_{v=1}^{n} g_{uv} (du dv)$

donde $ds$ es la distancia al origen de coordenadas en esa métrica

en tu caso la distancia depende del valor de la constante k

[carroza]

Hola, Gaudius.

A ver, la expresión correcta del elemento de distancia viene dada por $ds^2 = \sum_{\mu,\nu} g_{\mu,\nu} dx_\mu dx_\nu$

La distancia se define entre dos puntos A, B, con coordenadas $x_\nu(A), x_\nu(B)$ a través de un camino determinado $\Gamma$. Para obtener esa distancia $s_{AB}(\Gamma)$tendrías que integrar el elemento $ds$ anterior entre los puntos A y B, a lo largo del camino $\Gamma$.

Como verás, el valor de esa distancia depende de los puntos iniciales y finales, y depende del camino, así que no puedes esperar ninguna expresión analítica para ella.

Una aplicación de interés es el de Geodésica. La geodésica es el camino entre A y B, que hace que la distancia sea mínima. En este caso, la distancia mínima es facil de calcular, si elegimos unas coordenadas en las que el tensor métrico sea la unidad. Ahi te sale $s_{AB}(\Gamma) = \sqrt{ \sum_\mu (x_\mu(A) - x_\mu(B))^2 }$

saludos

[sater]

Buenas Carroza. Aquí me has dejado un poco perdido. No creo que sea posible encontrar en general unas coordenadas que hagan el tensor métrico la unidad en todo un camino (entendido este como de longitud finita).

[carroza]

Tienes razon, sater. Lo que debería haber escrito es "En este caso, siempre y cuando la geometría sea plana (k=0), la distancia minima es facil de calcular, si elegimos unas coordenadas en las que el tensor métrico sea la unidad".

[gaudius]

Perfecto. Gracias.

$\dst{d=\sqrt{\frac{(1-ky^2)dx^2+(1-kx^2)dy^2+(2kxy)dxdy}{1-k(x^2+y^2)}}}$

Para el camino y=0 y k=0.01 y al punto (5,0):

$\dst{d=\int_{0}^{5}\sqrt{\frac{1}{1-k(x^2)}}\;dx=5.23599}$

Y para el camino $\dst{y= \frac {4}{3} x}$ , k=0.01 y al punto (3,4):

$\dst{d=\int_{0}^{3}\sqrt{\frac{(1-k\frac{16}{9}x^2)+\frac{16}{9}(1-kx^2)+\frac{16}{9}2kx^2}{1-k\frac{25}{9}x^2}}\;dx=5.23599}$

Y en coordenadas polares $\dst{(r,\varphi)}$ para k=0.01 y r=5:

$\dst{d=\frac {1}{\sqrt {k}} sen^{-1} \sqrt {k}\; r\;=5.23599}$

Saludos.

[carroza]

En este caso que consideras, como tu ponto inicial es el origen, que puede caracterizarse en polares como $r_A=0, \phi_A$ arbitrario, y tu punto final $r_B, \phi_B$ puede verse que el camino que da la mínima distancia es el de $\phi = \phi_B$ constante, y las distancias que calculas efectivamente son las mínimas.

En el caso general esto no será así.

Saludos