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Distancia a un punto en una metrica no euclidea.

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  • Avanzado Distancia a un punto en una metrica no euclidea.

    Distancia a un punto en una metrica no euclidea.

    Hola.
    ¿Como se calcula la distancia a un punto (x,y) en esta metrica?



    Esto es la misma metrica que en polares tiene esta forma:



    Y que la distancia a un punto , para k>0 y vale:



    Y si quiero que la curvatura 'k' solo afecte a la coordenada 'y'. ¿Como seria la metrica?

    Saludos.

  • #2
    Algo tan simple como esto:



    No sé resolverlo ni de forma analitica ni por calculo numerico.
    Saludos.
    Última edición por gaudius; 08/11/2020, 22:05:37. Motivo: error

    Comentario


    • #3
      Hola gaudius yo recuerdo haber visto el calculo de la distancia al origen elemento de linea de coordenadas como



      donde es la distancia al origen de coordenadas en esa métrica

      en tu caso la distancia depende del valor de la constante k
      Última edición por Richard R Richard; 09/11/2020, 17:07:23.

      Comentario


      • #4
        Hola, Gaudius.

        A ver, la expresión correcta del elemento de distancia viene dada por

        La distancia se define entre dos puntos A, B, con coordenadas a través de un camino determinado . Para obtener esa distancia tendrías que integrar el elemento anterior entre los puntos A y B, a lo largo del camino .

        Como verás, el valor de esa distancia depende de los puntos iniciales y finales, y depende del camino, así que no puedes esperar ninguna expresión analítica para ella.

        Una aplicación de interés es el de Geodésica. La geodésica es el camino entre A y B, que hace que la distancia sea mínima. En este caso, la distancia mínima es facil de calcular, si elegimos unas coordenadas en las que el tensor métrico sea la unidad. Ahi te sale

        saludos


        Comentario


        • sater
          sater comentado
          Editando un comentario
          Buenas Carroza. Aquí me has dejado un poco perdido. No creo que sea posible encontrar en general unas coordenadas que hagan el tensor métrico la unidad en todo un camino (entendido este como de longitud finita).

        • carroza
          carroza comentado
          Editando un comentario
          Tienes razon, sater. Lo que debería haber escrito es "En este caso, siempre y cuando la geometría sea plana (k=0), la distancia minima es facil de calcular, si elegimos unas coordenadas en las que el tensor métrico sea la unidad".

      • #5
        Perfecto. Gracias.



        Para el camino y=0 y k=0.01 y al punto (5,0):



        Y para el camino , k=0.01 y al punto (3,4):



        Y en coordenadas polares para k=0.01 y r=5:



        Saludos.

        Comentario


        • #6
          En este caso que consideras, como tu ponto inicial es el origen, que puede caracterizarse en polares como arbitrario, y tu punto final puede verse que el camino que da la mínima distancia es el de constante, y las distancias que calculas efectivamente son las mínimas.

          En el caso general esto no será así.

          Saludos

          Comentario

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