Otras carreras Rotacion

[GonzC]

Hola esta es una consulta de una amiga, si la podéis ayudar os lo agradecería.
Sea $R$ un tensor de rotación, tal que $Re_{1}=e_{2}$, $Re_{2}=e_{3}$, $Re_{3}=e_{1}$
Dar la matriz que representa al tensor, la dirección $m$ de la rotación y el ángulo de giro

[arivasm]

Re: Rotacion

Fíjate que te están dando directamente la aplicación linea. Por ejemplo, en la base ${e_1,e_2,e_3}$ te dicen que cuando R "se come" el vector (1,0,0) [ponlo en columna] devuelve el [columna] (0,1,0). No te costará ver que la primera columna de R es, prescisamente, 0,1,0...

La dirección de la rotación está formada por los vectores que son invariantes frente a la misma. Por tanto, basta con ver que se trata del autoespacio de dimensión 1. Sin hacer cuentas, enseguida se ve que es el <(1,1,1)>.

Sobre el ángulo de giro se me ocurre que se puede hacer recurriendo a una base ortonormal formada por autovectores de R y comparar con las matrices de rotación 2D en las que aparece explícitamente el ángulo. De todos modos, como R³ es la identidad, es obvio que la respuesta es 120º

[GonzC]

Re: Rotacion

Gracias. José pregunta como sería una justificación más formal para obtener el ángulo?

[arivasm]

Re: Rotacion

Trasládale a tu amiga José lo que puse antes: que obtenga una base ortonormal a partir de los autovectores y haga una transformación de la aplicación a dicha base. Si, por ejemplo, se elige como primer elemento el correspondiente al eje de rotación, la forma de la matriz será análoga a la que corresponde a un giro de ángulo $\theta$ alrededor del eje X (https://es.wikipedia.org/wiki/Matriz...s_b.C3.A1sicas)

[GonzC]

Re: Rotacion

José ha estado intentando, pero ella dice que si $b_{i}$ es la base transformada y $e_{i}$ la base canónica entonces $b_{i}\cdot e_{j}= \cos \theta$, pero el ángulo que le da es $90\°$

[arivasm]

Re: Rotacion

Por lo que veo sois tres...

No, no es cierto que $b_{i}\cdot e_{j}= \cos \theta$. De todos modos, los vectores de la base de autoespacios no forman un ángulo de 90º con la base canónica. Así, el del eje de rotación forma un ángulo de 54,7º (basta con hacer el producto escalar con el (1,1,1) para verlo) con los de la base canónica. Para los otros dos depende de cómo se elijan (pues se trata de un espacio de dimensión 2).

De todos modos, si no me equivoco, el ángulo de giro se puede obtener directamente a partir de los autovalores complejos, pues son de la forma $\cos\theta\pm i\sin\theta$. ¿Qué autovalores habéis obtenido?

[GonzC]

Re: Rotacion

Autovalores:

$1., -0.5+0.866025 i, -0.5-0.866025 i$

La matriz de autovectores:

$\left(<br /> \begin{array}{ccc}<br /> 1. & 0.\, +0. i & 0.\, +0. i \\<br /> 0.\, +0. i & 0.\, +0. i & -0.5-0.866025 i \\<br /> 0.\, +0. i & -0.5+0.866025 i & 0.\, +0. i \\<br /> \end{array}<br /> \right)<br />$

[arivasm]

Re: Rotacion

El autovector que corresponde al autovalor 1 es el vector director del eje de rotación (¿cuál obtenéis?). Respecto del ángulo basta con que observéis que $\cos\theta=0,5$ y $\sin\theta=\sqrt{3}/2=0,866025...$ luego [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]