Otras carreras Duda con variedad vectorial y sus ecuaciones

[Mario123]

[FONT=verdana]Hola, soy Mario y estoy en primero de ingeniería, tengo algunas dudas sobre unos ejercicios de álgebra lineal y esperaba que me pudieseis echar una mano. [/FONT][FONT=verdana]
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• [FONT=verdana]Considerese el espacio vectorial real [/FONT][FONT=verdana](V,+,.)[/FONT][FONT=verdana] y, para cada [/FONT][FONT=verdana]a,b∈R[/FONT][FONT=verdana], el conjunto [/FONT][FONT=verdana]E[/FONT][FONT=verdana] de vectores de [/FONT][FONT=verdana]V[/FONT][FONT=verdana] cuyo vector de coordenadas [/FONT][FONT=MathJax_Main]([/FONT][FONT=verdana]x,y,z,t)[/FONT][FONT=verdana] respecto de la base [/FONT][FONT=verdana]Bv={v1,v2,v3,v4}[/FONT][FONT=verdana] de [/FONT][FONT=verdana]V[/FONT][FONT=verdana] satisface el sistema [/FONT][FONT=verdana]AX=B[/FONT][FONT=verdana].[/FONT]

[FONT=verdana] Se pide en función de los valores de [/FONT][FONT=verdana]a,b∈R[/FONT][FONT=verdana]:[/FONT]

[FONT=verdana] a) Obtener las ecuaciones paramétricas de E y decir si, en algun caso, E es subespacio.[/FONT]

• [FONT=verdana]Considérese, ademas, el espacio vectorial real [/FONT][FONT=verdana](V′,+,.)[/FONT][FONT=verdana] con base [/FONT][FONT=verdana]B´v′={v1′,v2′,v3′}[/FONT][FONT=verdana] y para cada [/FONT][FONT=verdana]a,b∈R[/FONT][FONT=verdana] la aplicacion lineal [/FONT][FONT=verdana]f:V⟹V′[/FONT][FONT=verdana] tal que, respecto de las bases [/FONT][FONT=verdana]Bv,B′v′[/FONT][FONT=verdana], tiene matriz asociada [/FONT][FONT=verdana]A[/FONT][FONT=verdana].[/FONT]

[FONT=verdana] a) Se pide discutir si [/FONT][FONT=verdana]dim(Ker(f))=dim(E).
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[FONT=verdana] b) Obtener las ecuaciones implicitas de f(E).
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[FONT=verdana]Este es el ejercicio en cuestión, anteriormente me pedía estudiar los rangos de A y B y resolver AX=B, lo he hecho estudiando todos los casos posibles para los distintos valores de a y b. Aquí vienen mis preguntas, ¿las ecuaciones parametricas de E son las resultantes de resolver AX=B para todos los casos de los valores de a y b? En ese caso, ¿como saco la dim(E) y las ecuaciones implicitas de f(E)?

Si necesitáis cualquier otra información pedídmelo.

Un saludo y gracias de antemano. [/FONT]

[angel relativamente]

Re: Duda con variedad vectorial y sus ecuaciones

Hola Mario. Las ecuaciones paramétricas las puedes obtener de las implícitas resolviendo el sistema de ecuaciones. Se entiende que el sistema de implícitas, al ser las ecuaciones de un espacio vectorial, será homogéneo y compatible indeterminado. Tendrá pues, cierto grado de libertad, los cuales indicarán la dimensión del sistema. Por ejemplo, si tiene dos grados de indeterminación podemos dejar todas las variables en función de dos parámetros ($\lambda, \mu$) y eso serán las ecuaciones paramétricas, obteniendo así que el espacio en este caso tendría dimensión 2. Todo esto tendrás que hacerlo para cada caso de los valores a,b que hayas considerado.
Por otro lado, si E tiene una cierta base ${u_i}$, entonces el espacio $f(E)$ estará generado por los vectores $f(u_i)=Au_i$. De ahí debes eliminar los que son linealmente dependientes y obtendrás una base de $f(E)$. ¿Con una base sabes obtener ecuaciones implícitas? Normalmente lo que se hace es coger un vector genérico $w$ e imponer que sea linealmente dependiente con los elementos de la base (esto se suele hacer con determinantes) y así obtienes directamente las ecuaciones implícitas, donde las variables son las componentes de $w$ (básicamente habrías calculado todos los vectores que son linealmente dependientes con los de la base, es decir, todos los del espacio)
Saludos,

[Mario123]

Re: Duda con variedad vectorial y sus ecuaciones

Entendido, muchas gracias. Intentare hacerlo.