Probar que es una topología

[cristianoceli]

Hola tengo dudas con este ejercicio
En el plano ${\mathbb{R}}^2$ consideremos la familia $\tau$ que consiste en el conjunto vacío $\emptyset , {\mathbb{R}}^2$ y todos o los discos abiertos $\{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0$. Pruebe que $\tau$ define una topología y determine
la clausura de la hiperbola $xy = 1$

Para la primera parte tengo que probar los axiomas:
A1: $\emptyset$ and ${\mathbb{R}}^2$ están en $\tau$.
A2: La unión arbitraria de elementos en la topología esta en la topología
A3: La intersección finita de elementos de la topología esta en la topología

$A1$ Por definición $\emptyset$ y ${\mathbb{R}}^2$ estan en $\tau$.

$A2$ ${\mathbb{R}}^2 \cup$ Todos los discos abiertos $\{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0$ resulta ${\mathbb{R}}^2$ por lo cual ${\mathbb{R}}^2 \in \tau$


$A3$ ${\mathbb{R}}^2 \cap$ todos los discos abiertos $\{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0$ resulta $\{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0$ por lo cual $\{ x^2 + y^2 < r^2 \}, r > 0 \in \tau$

Tengo muchas dudas con mi demostración de los axiomas 2 y 3 pues la unión debe ser arbitraria y no se muy bien como hacerlo

Saludos