Tweet
El mapa conceptual de los sudokus de cualquier tamaño que ahora tengo en mi cabeza me dice que:
n (es la base del sudoku),
--De n surgen o emergen la cantidad de Casillas o celdas (cells)
----De la cantidad de celdas surgen la cantidad de los templates (en mi librro las Grillas)
------De los Templates o Grillas surgen los Modelos (para los que hablan ingles Invariants Grids)
--------De los Modelos surgen dos cosas:
----------1.- La cantidad de Familias (en ingles Essentially Different), utilizando para esto las Transformaciones Geometricas (Geometric Permutations)
----------2.- La cantidad de Soluciones del sudoku, Utilizando para ello las transposiciones numéricas o Reetiquetado (Relabeling en inglés)
--------De la multiplicacion de las Transformaciones Geometricas por el Reetiquetado surge el Rango o Alcance Máximo.
Siguiendo ese mapa conseptual, yo tengo una ecuación o fórmula matemática para casi todos los elementos, pero los Modelos y la cantidad de Soluciones se me sigue escapando de una generalización.
Parámetros de sudoku
---Número natural: n
---Tamaño de cuadrícula: n ^ 2
---Número de celdas: (n ^ 2) ^ 2
---Número de casos: 2 ^ ((n ^ 2) ^ 2)
---Número de plantillas: n! ^ (2n)
---Plantillas / Tamaño de cuadrícula: [n! ^ (2n)] / [n ^ 2]
---Transformaciones geométricas: 2 * (n!) ^ ((2n) +2)
---Reetiquetado: (n ^ 2)!
---Rango máximo: [2 * (n!) ^ ((2n) +2)] * [(n ^ 2)!]
Obtenemos así:
Número natural (n): 2
Tamaño de cuadrícula: 4
Número de celdas: 16
Número de casos: 65536
Número de plantillas: 16
Plantillas / Tamaño de cuadrícula: 4
Transformaciones geométricas: 128
Reetiquetado: 24
Rango máximo: 3072
Número natural (n): 3
Tamaño de cuadrícula: 9
Número de celdas: 81
Número de casos: 2,41785E + 24
Número de plantillas : 46656
Plantillas / Tamaño de cuadrícula: 5184
Transformaciones geométricas: 3359232
Reetiquetado: 362880
Rango máximo: 1218998108160
Número natural (n): 4
Tamaño de cuadrícula: 16
Número de celdas: 256
Número de casos: 1,15792E + 77
Número de plantillas: 110075314176
Plantillas / Tamaño de cuadrícula: 6879707136
Transformaciones geométricas: 126806761930752
Reetiquetado: 20922789888000
Rango máximo: 2,65315E + 27
Mi Padre y Yo llevamos 10 años estudiando al Sudoku 4x4 y lo pudimos enjaular en un hipercubo (teseracto) de lo más fácil. Se puede ver en Estudio del Sudoku 4x4 en el teseracto.
https://www.youtube.com/watch?v=dvGcLiGd46s
La cosa es que ahora para generalizar lo aprendido al sudoku 9x9 tenemos que agarrarnos con un monstruo de la familia de los Hipercubos Generalizados que no entendemos
Queríamos saber si nos podrían decir las características del Hypercube Regular en R6 - Y(6/6), o ponernos en contacto con algún otro matemático que trabaje con Politopos Regulares en espacio dimensional R6.
https://es.wikipedia.org/wiki/Hipercubo
Sabemos por Wikipedia que tiene 46656 vértices pero nos interesaría saber el número de 9-caras que tiene y sobre todo con qué fórmula matemática se podría calcular.
También nos funcionaría alguna referencia a cualquier libro de texto o página web que contenga información relacionada con el tema.
Teniendo esa información creo que podríamos deducir y generalizar una formula que obtenga la Cantidad de Soluciones de Cualquier sudoku cuadrado de Cualquier tamaño sin tener necesidad de enumerarlos ni contarlos.
A través de la comparación entre la Cantidad de Caras del Politopo que pueda enjaular a un sudoku especifico y la cantidad de modelos que ese sudoku tenga creo ser capaz de deducir una ecuación que nos permita calcular esos valores, sin tener necesidad de entrar en aproximaciones, enumeraciones ni conteos computacionales de ningún tipo.
Conjeturando una ecuación matemática para el calculo de las soluciones de sudokus cuadrados de cualquier tamaño
Sabemos que en base a n podemos calcular ciertos valores interesantes acerca de los sudokus, lo que nunca he podido entender es ¿Por qué no existe una ecuación que nos diga en función de n la cantidad total de soluciones que existe?
por acá les dejo una posible forma de hacerlo ya que existe una relación entre Celdas, Plantillas (templates) y Modelos"
Dicho esto tenemos:
[Cantidad total de Soluciones del sudoku] = [Cantidad de Modelos] * [Reetiquetado]
El problema con esta fórmula es que no teníamos una ecuación o una forma de determinar la [Cantidad de Modelos]
Mediante la representación de los modelos sobre un grafo de la familia de los hipercubos podemos tener alguna pista de como resolver.
Los hipercubos son grafos y por tanto tienen algunas propiedades, por ejemplo, cantidad de vertices, cantidad de aristas, cantidad de caras, etc
El punto importante es que tenemos que encontrar cual es la relación que existe entre n y la Cantidad de Modelos valiéndonos para esto del conocimiento del valor del Número de Caras del Hipercubo que soporta a todos los Templates o Plantillas del caso en particular.
Por ejemplo para el sudoku 4x4 que tiene un valor de n=2 tenemos que el hipercubo que soporta a sus 16 templates en sus vértices es el teseracto, y que la cantidad de caras es de 24. De manera que podemos determinar que:
[Cantidad de modelos] = [Cantidad de Caras del Teseracto] / [n]
[Cantidad de modelos] = 24 / 2
[Cantidad de modelos] = 12
y por tanto la cantidad de soluciones es
[Cantidad total de Soluciones del sudoku 4x4] = [Cantidad de Modelos] * [Reetiquetado]
[Cantidad total de Soluciones del sudoku 4x4] = 12 * 4!
[Cantidad total de Soluciones del sudoku 4x4] = 12 * 24
[Cantidad total de Soluciones del sudoku 4x4] = 288
Ahora para el 9x9 sabemos que la Cantidad de modelos es de 18.383.222.420.692.992 y que debemos trabajar con un Hipercubo que tenga 46.656 Vertices, por tanto tendríamos que saber la relación que existe entre la Cantidad de Caras del Hipercubo(46656) y la cantidad de modelos del 9x9 (18.383.222.420.692.992) para saber si podemos expresar esa relación en términos de n=3
Ya sabemos gracias a Rusell y Jarvis que:
[Cantidad total de Soluciones del sudoku 9x9] = [Cantidad de Modelos] * [Reetiquetado]
[Cantidad total de Soluciones del sudoku 9x9] = 18.383.222.420.692.992 * 9!
[Cantidad total de Soluciones del sudoku 9x9] = 18.383.222.420.692.992 * 362880
[Cantidad total de Soluciones del sudoku 9x9] = 6.670.903.752.021.072.936.960
Me parece que el asunto viene mas o menos por acá.
.- Para n=2 estamos en el caso del sudoku 4x4 se necesitan 16 vertices para sus 16 Templates la forma de construirlo es:
2*2*2*2 = 2^4 = 16 es por eso que el sudoku 4x4 se situa en R4 y en P=2
Con esto podemos incrustar al sudoku 4x4 en el primer teseracto (el de siempre Y(2-4) ), para ese ya sabemos que tiene 24 caras de las cuales se utilizan
solo 12 para colocar los posibles modelos o grillas invariantes de ese sudoku
.- Para n=3 estamos en el caso del sudoku 9x9 ( el típico de los periodicos) se necesitan 46656 vertices para sus 46656 Templates, la forma de construirlo es:
6*6*6*6*6*6 = 6^6 = 46656 es por eso que el sudoku 9x9 se situa en R6 y en P=6
Con esto podemos incrustar al sudoku 9x9 en el hipercubo generalizado Y(6-6) , para ese no sabemos cuantas 9-caras tiene,
pero sabemos que al menos deben ser 18.383.222.420.692.992 las cuales se utilizan para colocar los posibles modelos o grillas invariantes del sudoku 9x9
.- Para n=4 estamos en el caso del sudoku 16x16 se necesitan 110075314176 vertices para sus 110075314176 Templates, la forma de construirlo es:
24*24*24*24*24*24*24*24 = 24^8 = 110075314176 es por eso que el sudoku 16x16 se situa en R8 y en P=24
Con esto podemos incrustar al sudoku 16x16 en el hipercubo generalizado Y(24-8) , para ese no sabemos cuantas 16-caras tiene,
ni sabemos el orden de magnitud de los posibles modelos del sudoku 16x16
Podemos seguir asi sucesivamente Incrustando a sudokus cada vez mas grandes el Politopos cada vez mayores y de más dimensiones.
La idea es saber si por construcción o por generalización de la ecuación de euler para los poligonos regulares se puede obtener un cálculo rápido
de la cantidad de caras de los politopos, y si con ese resultado podemos encontrar alguna relación directa con el valor de "n" que es la base de cada sudoku
y el valor de los modelos o grillas invariantes de ese sudoku.
Así es que para lo que estoy necesitando su ayuda es para que un verdadero matemático, que se ocupe de cosas como la familia de los hipercubos y sus caracteristicas me pueda dar luces de como calcular la cantidad de caras que existen en hipercubos con 16 vertices, 46.656 vertices y 110.075.314.176 vertices. Para ver si generalizando a partir de estos tres casos podemos hallar la relación que existe entre el valor de n, la cantidad de templates, la cantidad de caras del hipercubo que las contiene, para finalmente poder calcular la cantidad de modelos que vvan a generarse y de esa forma también la cantidad de soluciones que tienen esos sodokus.
Saludos.
n (es la base del sudoku),
--De n surgen o emergen la cantidad de Casillas o celdas (cells)
----De la cantidad de celdas surgen la cantidad de los templates (en mi librro las Grillas)
------De los Templates o Grillas surgen los Modelos (para los que hablan ingles Invariants Grids)
--------De los Modelos surgen dos cosas:
----------1.- La cantidad de Familias (en ingles Essentially Different), utilizando para esto las Transformaciones Geometricas (Geometric Permutations)
----------2.- La cantidad de Soluciones del sudoku, Utilizando para ello las transposiciones numéricas o Reetiquetado (Relabeling en inglés)
--------De la multiplicacion de las Transformaciones Geometricas por el Reetiquetado surge el Rango o Alcance Máximo.
Siguiendo ese mapa conseptual, yo tengo una ecuación o fórmula matemática para casi todos los elementos, pero los Modelos y la cantidad de Soluciones se me sigue escapando de una generalización.
Parámetros de sudoku
---Número natural: n
---Tamaño de cuadrícula: n ^ 2
---Número de celdas: (n ^ 2) ^ 2
---Número de casos: 2 ^ ((n ^ 2) ^ 2)
---Número de plantillas: n! ^ (2n)
---Plantillas / Tamaño de cuadrícula: [n! ^ (2n)] / [n ^ 2]
---Transformaciones geométricas: 2 * (n!) ^ ((2n) +2)
---Reetiquetado: (n ^ 2)!
---Rango máximo: [2 * (n!) ^ ((2n) +2)] * [(n ^ 2)!]
Obtenemos así:
Número natural (n): 2
Tamaño de cuadrícula: 4
Número de celdas: 16
Número de casos: 65536
Número de plantillas: 16
Plantillas / Tamaño de cuadrícula: 4
Transformaciones geométricas: 128
Reetiquetado: 24
Rango máximo: 3072
Número natural (n): 3
Tamaño de cuadrícula: 9
Número de celdas: 81
Número de casos: 2,41785E + 24
Número de plantillas : 46656
Plantillas / Tamaño de cuadrícula: 5184
Transformaciones geométricas: 3359232
Reetiquetado: 362880
Rango máximo: 1218998108160
Número natural (n): 4
Tamaño de cuadrícula: 16
Número de celdas: 256
Número de casos: 1,15792E + 77
Número de plantillas: 110075314176
Plantillas / Tamaño de cuadrícula: 6879707136
Transformaciones geométricas: 126806761930752
Reetiquetado: 20922789888000
Rango máximo: 2,65315E + 27
Mi Padre y Yo llevamos 10 años estudiando al Sudoku 4x4 y lo pudimos enjaular en un hipercubo (teseracto) de lo más fácil. Se puede ver en Estudio del Sudoku 4x4 en el teseracto.
https://www.youtube.com/watch?v=dvGcLiGd46s
La cosa es que ahora para generalizar lo aprendido al sudoku 9x9 tenemos que agarrarnos con un monstruo de la familia de los Hipercubos Generalizados que no entendemos
Queríamos saber si nos podrían decir las características del Hypercube Regular en R6 - Y(6/6), o ponernos en contacto con algún otro matemático que trabaje con Politopos Regulares en espacio dimensional R6.
https://es.wikipedia.org/wiki/Hipercubo
Sabemos por Wikipedia que tiene 46656 vértices pero nos interesaría saber el número de 9-caras que tiene y sobre todo con qué fórmula matemática se podría calcular.
También nos funcionaría alguna referencia a cualquier libro de texto o página web que contenga información relacionada con el tema.
Teniendo esa información creo que podríamos deducir y generalizar una formula que obtenga la Cantidad de Soluciones de Cualquier sudoku cuadrado de Cualquier tamaño sin tener necesidad de enumerarlos ni contarlos.
A través de la comparación entre la Cantidad de Caras del Politopo que pueda enjaular a un sudoku especifico y la cantidad de modelos que ese sudoku tenga creo ser capaz de deducir una ecuación que nos permita calcular esos valores, sin tener necesidad de entrar en aproximaciones, enumeraciones ni conteos computacionales de ningún tipo.
Conjeturando una ecuación matemática para el calculo de las soluciones de sudokus cuadrados de cualquier tamaño
Sabemos que en base a n podemos calcular ciertos valores interesantes acerca de los sudokus, lo que nunca he podido entender es ¿Por qué no existe una ecuación que nos diga en función de n la cantidad total de soluciones que existe?
por acá les dejo una posible forma de hacerlo ya que existe una relación entre Celdas, Plantillas (templates) y Modelos"
Dicho esto tenemos:
[Cantidad total de Soluciones del sudoku] = [Cantidad de Modelos] * [Reetiquetado]
El problema con esta fórmula es que no teníamos una ecuación o una forma de determinar la [Cantidad de Modelos]
Mediante la representación de los modelos sobre un grafo de la familia de los hipercubos podemos tener alguna pista de como resolver.
Los hipercubos son grafos y por tanto tienen algunas propiedades, por ejemplo, cantidad de vertices, cantidad de aristas, cantidad de caras, etc
El punto importante es que tenemos que encontrar cual es la relación que existe entre n y la Cantidad de Modelos valiéndonos para esto del conocimiento del valor del Número de Caras del Hipercubo que soporta a todos los Templates o Plantillas del caso en particular.
Por ejemplo para el sudoku 4x4 que tiene un valor de n=2 tenemos que el hipercubo que soporta a sus 16 templates en sus vértices es el teseracto, y que la cantidad de caras es de 24. De manera que podemos determinar que:
[Cantidad de modelos] = [Cantidad de Caras del Teseracto] / [n]
[Cantidad de modelos] = 24 / 2
[Cantidad de modelos] = 12
y por tanto la cantidad de soluciones es
[Cantidad total de Soluciones del sudoku 4x4] = [Cantidad de Modelos] * [Reetiquetado]
[Cantidad total de Soluciones del sudoku 4x4] = 12 * 4!
[Cantidad total de Soluciones del sudoku 4x4] = 12 * 24
[Cantidad total de Soluciones del sudoku 4x4] = 288
Ahora para el 9x9 sabemos que la Cantidad de modelos es de 18.383.222.420.692.992 y que debemos trabajar con un Hipercubo que tenga 46.656 Vertices, por tanto tendríamos que saber la relación que existe entre la Cantidad de Caras del Hipercubo(46656) y la cantidad de modelos del 9x9 (18.383.222.420.692.992) para saber si podemos expresar esa relación en términos de n=3
Ya sabemos gracias a Rusell y Jarvis que:
[Cantidad total de Soluciones del sudoku 9x9] = [Cantidad de Modelos] * [Reetiquetado]
[Cantidad total de Soluciones del sudoku 9x9] = 18.383.222.420.692.992 * 9!
[Cantidad total de Soluciones del sudoku 9x9] = 18.383.222.420.692.992 * 362880
[Cantidad total de Soluciones del sudoku 9x9] = 6.670.903.752.021.072.936.960
Me parece que el asunto viene mas o menos por acá.
.- Para n=2 estamos en el caso del sudoku 4x4 se necesitan 16 vertices para sus 16 Templates la forma de construirlo es:
2*2*2*2 = 2^4 = 16 es por eso que el sudoku 4x4 se situa en R4 y en P=2
Con esto podemos incrustar al sudoku 4x4 en el primer teseracto (el de siempre Y(2-4) ), para ese ya sabemos que tiene 24 caras de las cuales se utilizan
solo 12 para colocar los posibles modelos o grillas invariantes de ese sudoku
.- Para n=3 estamos en el caso del sudoku 9x9 ( el típico de los periodicos) se necesitan 46656 vertices para sus 46656 Templates, la forma de construirlo es:
6*6*6*6*6*6 = 6^6 = 46656 es por eso que el sudoku 9x9 se situa en R6 y en P=6
Con esto podemos incrustar al sudoku 9x9 en el hipercubo generalizado Y(6-6) , para ese no sabemos cuantas 9-caras tiene,
pero sabemos que al menos deben ser 18.383.222.420.692.992 las cuales se utilizan para colocar los posibles modelos o grillas invariantes del sudoku 9x9
.- Para n=4 estamos en el caso del sudoku 16x16 se necesitan 110075314176 vertices para sus 110075314176 Templates, la forma de construirlo es:
24*24*24*24*24*24*24*24 = 24^8 = 110075314176 es por eso que el sudoku 16x16 se situa en R8 y en P=24
Con esto podemos incrustar al sudoku 16x16 en el hipercubo generalizado Y(24-8) , para ese no sabemos cuantas 16-caras tiene,
ni sabemos el orden de magnitud de los posibles modelos del sudoku 16x16
Podemos seguir asi sucesivamente Incrustando a sudokus cada vez mas grandes el Politopos cada vez mayores y de más dimensiones.
La idea es saber si por construcción o por generalización de la ecuación de euler para los poligonos regulares se puede obtener un cálculo rápido
de la cantidad de caras de los politopos, y si con ese resultado podemos encontrar alguna relación directa con el valor de "n" que es la base de cada sudoku
y el valor de los modelos o grillas invariantes de ese sudoku.
Así es que para lo que estoy necesitando su ayuda es para que un verdadero matemático, que se ocupe de cosas como la familia de los hipercubos y sus caracteristicas me pueda dar luces de como calcular la cantidad de caras que existen en hipercubos con 16 vertices, 46.656 vertices y 110.075.314.176 vertices. Para ver si generalizando a partir de estos tres casos podemos hallar la relación que existe entre el valor de n, la cantidad de templates, la cantidad de caras del hipercubo que las contiene, para finalmente poder calcular la cantidad de modelos que vvan a generarse y de esa forma también la cantidad de soluciones que tienen esos sodokus.
Saludos.
Comentario