2o ciclo Sobre espacios de Hilbert

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Buenas tardes a todos y todas!

Escribo otra pregunta que me asaltó hace poco, a ver si podéis ayudarme. Normalmente estoy más acostumbrado a trabajar con qubits en la esfera de Bloch. Allí, un estado inicial lo puedo escribir de manera general como

$$|i\rangle = \cos\big(\frac{\theta_i}{2}\big) |0\rangle + e^{i\phi_i}\sin\big(\frac{\theta_i}{2}\big) |1\rangle \: ,$$

de modo que tiene asociado un vector de Bloch $\vec{n}_i = (\sin \theta_i \cos \phi_i,\sin \theta_i \sin \phi_i,\cos \theta_i)$ cuyo extremo se mueve por la esfera de radio unidad. De igual modo, un estado final de interés $|f\rangle$ tiene como vector de Bloch $\vec{n}_f = (\sin \theta_f \cos \phi_f,\sin \theta_f \sin \phi_f,\cos \theta_f)$. Ahora, si quiero moverme del estado inicial al final a lo largo de una geodésica sobre esta esfera (es decir, a lo largo de un círculo máximo que una dichos estados) debo hacer una rotación

$$\mathcal{R}(\phi_T) = \exp (-i\frac{\phi_T}{2} \vec{\sigma}\cdot \vec{n}_\bot) \: ,$$

alrededor del eje

$$\vec{n}_\bot = \frac{\vec{n}_i \times \vec{n}_f}{|\vec{n}_i \times \vec{n}_f|}$$

y ángulo

$$\phi_T = \arccos (\vec{n_i}\cdot \vec{n}^\prime_f)\: .$$

Añado que $\vec{\sigma} = (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$ son las matrices de Pauli. Hasta aquí me parece todo bien razonado. Pero, ¿y si quiero trasladar el mismo procedimiento en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}_N$ de dimensión $N$?
¿La distancia más corta entre ambos estados será un círculo máximo sobre una hyperesfera de dimensión $N$? ¿Debo moverme sólo en el subespacio generado por el estado inicial i final?

Espero haber expuesto bien el problema. Seríais de gran ayuda, la verdad, puesto que me cuesta trabajar en muchas dimensiones.
Un saludo y muchas gracias por la paciencia.