Determinante

[alexpglez]

Re: Determinante

¿He dado en el clavo?

Por fin nos entendemos. Eso era lo que sospechaba que era incorrecto. Después de toda esta discusión, me gustaría ver alguna demostración de la unicidad del determinante, si nos pudieses pasar alguna demostración, por mi parte intentaré buscar.

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Encontré este pdf: http://mate.dm.uba.ar/~jeronimo/alge.../Capitulo5.pdf
Aunque es un poco espeso (más que cualquiera que he leído), viene la demostración. Si tengo alguna duda ya pregunto en base al pdf.

[Weip]

Re: Determinante

Pretendo hacer lo mismo que hice aquí sobre la potencia: http://forum.lawebdefisica.com/threa...enciaci%C3%B3n

Si intentas imitar lo que hiciste con las potencias entonces ¿cuál es tu caso inicial? Por el paralelismo parece que lo hayas hecho aquí:

Definamos dos funciones determinante, $det_1$ y $det_2$. Queremos ver si $det_1=det_2$
- I:

$$det_1(I)=1 \;\;\; det_2(I)=1 \;\;\; det_1(I)=det_2(I)$$

Si es esto, entonces no es correcto porque la matriz identidad ¿en qué sentido es un "caso inicial"? Parece que pretendes hacer una inducción sobre el número de matrices que existen, pero este es no numerable (entre otros problemas) y no puedes usar inducción. Entonces sí tendría sentido lo que has dicho aquí:

Pero, me doy cuenta de que este método sólo sirve para los números naturales, puesto que así está axiomatizado.

¿He dado en el clavo?

[alexpglez]

Re: Determinante

Pretendo hacer lo mismo que hice aquí sobre la potencia: http://forum.lawebdefisica.com/threa...enciaci%C3%B3n

[Weip]

Re: Determinante

No lo veo, escribí eso mismo que he dicho.

Vale vamos allá.

Definamos una función determinante por la función $det: M_{nxn}(R) \rightarrow R$, con las propiedades:

$$det(I)=1$$

$$det(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)=\lambda det(u_1,...,u_k,...u_n)+\beta det(u_1,...,u_k',...u_n)$$

$$det(u_1,...,u_{k+1},u_k,...u_n)=-det(u_1,...,u_k, u_{k+1},...u_n)$$

Fíjate que tu última propiedad es la alternancia adyacente y en la definición que yo di no está. No lo había comentado hasta ahora porque da un poco igual, lo que importa es tu demostración, pero es para situarnos. Así que todo bien.

Definamos dos funciones determinante, $det_1$ y $det_2$. Queremos ver si $det_1=det_2$

Aquí has escrito literalmente que supones que existen dos funciones determinante y quieres ver que de hecho son la misma, es decir, quieres demostrar la unicidad del determiante. En cambio ayer dijistes:

Lo que he querido comprobar es que, la unicidad de la función determinante para dos matrices, implica que la definición sea única también para cualquier otra matriz tal que en su fila haya una combinación lineal de las conocidas y tenga el resto de filas iguales, junto con el caso de la unicidad del caso de la matriz identidad (que es única por definición).

Es decir, que estás aceptando como hipótesis la unicidad del determinante, en contradicción con el mensaje #9, donde forma parte de las conclusiones. Además fíjate que el contenido de tu última cita es evidente: si el determinante es único para todas las matrices en particular lo es para una que has obtenido mediante transformaciones elementales a otra matriz. Si lo que quieres decir es que solo supones la unicidad del determinante para dos matrices concretas entonces no es lo que has escrito ni en la definición ni en la demostración, donde has supuesto elementos cualesquiera de $M_{n\times n}(\mathbb{R})$.

Definamos dos funciones determinante, $det_1$ y $det_2$. Queremos ver si $det_1=det_2$
- I:

$$det_1(I)=1 \;\;\; det_2(I)=1 \;\;\; det_1(I)=det_2(I)$$

Esto está bien.

-

$$det_1(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)=\lambda det_1(u_1,...,u_k,...u_n)+\beta det_1(u_1,...,u_k',...u_n)$$

y

$$det_2(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)=\lambda det_2(u_1,...,u_k,...u_n)+\beta det_2(u_1,...,u_k',...u_n)$$

utilizando la hipótesis de inducción $det_1(u_1,...,u_k,...u_n)=det_2(u_1,...,u_k,...u_n) \;\;\; det_1(u_1,...,u_k',...u_n)=det_2(u_1,...,u_k',...u_n)$. Luego:

$$det_1(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)=det_2(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)$$

-

$$det_1(u_1,...,u_{k+1},u_k,...u_n)=-det_1(u_1,...,u_k, u_{k+1},...u_n)=$$

$$=-det_2(u_1,...,u_k, u_{k+1},...u_n)=det_2(u_1,...,u_{k+1},u_k,...u_n)$$

Hablas de una hipótesis de inducción cuando aún no has comprobado el caso inicial (el típico $P(0)$). Además no está claro sobre qué haces la inducción, es decir, la propiedad que quieres demostrar habla sobre números naturales se supone, pero aquí el único natural es $n$ y en cambio la supuesta inducción no es sobre $n$. O al menos das a entender eso cuando dices más tarde:

Pero, me doy cuenta de que este método sólo sirve para los números naturales, puesto que así está axiomatizado.

Siguiendo con el anterior desarrollo, la hipótesis de inducción dice, literalmente, que la aplicación determinante de orden $n$ es única. Y eso es justamente lo que quieres demostrar según has dicho aquí:

Definamos dos funciones determinante, $det_1$ y $det_2$. Queremos ver si $det_1=det_2$

Como te dije mensajes más arriba esto se arreglaría fácil si hicieras inducción sobre $n$: la hipótesis de inducción sería $det_1(a_1,...,a_k)=det_2(a_1,...,a_k)$ donde $k=n-1$ (o $k=n$, como quieras). Que es un cambio de letra tonto, pero como no queda claro qué esquema de demostración estás usando pues lo digo. Finalmente haces unos pasos que consecuencia de lo anterior. Lo lógico, aunque estuviera mal como está, sería demostrar el caso $k$ o $k+1$ dependiendo del criterio que uses ($n$ o $n+1$ haciendo las aclaraciones pertinentes) pero no lo haces y te sales del esquema de inducción de repente.

No sé si me explico. Más allá de los cálculos lo que quiero decir es que en unos mensajes dices una cosa y en otros otra, y al final no entiendo cuál es tu objetivo.

[alexpglez]

Re: Determinante

Lo que dices es cierto, pero no se corresponde con lo que has escrito más arriba. ¿Ves porqué?

No lo veo, escribí eso mismo que he dicho.

[Weip]

Re: Determinante

Lo que dices es cierto, pero no se corresponde con lo que has escrito más arriba. ¿Ves porqué?

[alexpglez]

Re: Determinante

Según tengo entendido, el método de inducción matemática, sólo es aplicable a las demostraciones con naturales, puesto que se deriva del 5º axioma de Peano. Esto es así, ya que el 5º axioma de Peano dice que si algo es verdadera para un cierto número natural X (sea 0, 1 u otro), y que que sea verdad para cierto número implica que es cierto también para su siguiente, implica que la proposición es verdadera para todos los naturales a partir de X. Lo que he querido comprobar es que, la unicidad de la función determinante para dos matrices, implica que la definición sea única también para cualquier otra matriz tal que en su fila haya una combinación lineal de las conocidas y tenga el resto de filas iguales, junto con el caso de la unicidad del caso de la matriz identidad (que es única por definición).

[Weip]

Re: Determinante

la inducción es comprobar para un caso

¿Qué caso has comprobado? ¿Te refieres a lo del determinante de la identidad?

comprobar que la hipótesis junto con las propiedes implica que se da para otros casos

La hipótesis que has usado es que el determinante es único. Supongo que quieres decir otra cosa pero no veo el qué.

Si quisieras hacer una inducción para demostrar la unidad del determinante lo suyo sería hacerlo sobre le orden del determinante, de forma que tendrías que demostrar esta propiedad para matrices de orden uno, luego la supones cierta para matrices de orden $k$ y demuestras el caso $k+1$. Hasta ahora lo que has hecho es probar la unidad del determinante cuando la matriz es la identidad y luego supones lo que quieres demostrar. Esto último sería un despiste fácil de corregir si hicieras inducción sobre $n$ pero por tus comentarios no parece que sea el caso (todo esto dejando de lado que la inducción no es el esquema de demostración más efectivo en este caso).

Igual soy yo que estoy espeso, pero es que no veo la inducción. Me gustaría que me explicaras tu último comentario porque es lo que me descoloca más:

Pero, me doy cuenta de que este método sólo sirve para los números naturales, puesto que así está axiomatizado.

[alexpglez]

Re: Determinante

Por lo que tengo entendido, la inducción es comprobar para un caso y comprobar que la hipótesis junto con las propiedes implica que se da para otros casos, como he hecho, es así¿?

[Weip]

Re: Determinante

utilizando la hipótesis de inducción

Este comentario me confunde. Hasta ahora no estabas siguiendo el esquema de inducción. Si de algún modo lo estabas siguiendo ¿donde está la comprobación inicial? ¿Sobre qué haces inducción? ¿Sobre el orden del determinante? Esta sería la interpretación más plausible pero luego dices:

Pero, me doy cuenta de que este método sólo sirve para los números naturales, puesto que así está axiomatizado.

Das a entender que estás haciendo inducción sobre algo que no es un natural pero no acabas de decir sobre qué.

[alexpglez]

Re: Determinante

Creo que ya entiendo, pero por si acaso detallo lo que quería decir.

Definamos una función determinante por la función $det: M_{nxn}(R) \rightarrow R$, con las propiedades:

$$det(I)=1$$

$$det(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)=\lambda det(u_1,...,u_k,...u_n)+\beta det(u_1,...,u_k',...u_n)$$

$$det(u_1,...,u_{k+1},u_k,...u_n)=-det(u_1,...,u_k, u_{k+1},...u_n)$$

Definamos dos funciones determinante, $det_1$ y $det_2$. Queremos ver si $det_1=det_2$
- I:

$$det_1(I)=1 \;\;\; det_2(I)=1 \;\;\; det_1(I)=det_2(I)$$

-

$$det_1(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)=\lambda det_1(u_1,...,u_k,...u_n)+\beta det_1(u_1,...,u_k',...u_n)$$

y

$$det_2(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)=\lambda det_2(u_1,...,u_k,...u_n)+\beta det_2(u_1,...,u_k',...u_n)$$

utilizando la hipótesis de inducción $det_1(u_1,...,u_k,...u_n)=det_2(u_1,...,u_k,...u_n) \;\;\; det_1(u_1,...,u_k',...u_n)=det_2(u_1,...,u_k',...u_n)$. Luego:

$$det_1(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)=det_2(u_1,...,\lambda u_k+ \beta u_k',...u_n)$$

-

$$det_1(u_1,...,u_{k+1},u_k,...u_n)=-det_1(u_1,...,u_k, u_{k+1},...u_n)=$$

$$=-det_2(u_1,...,u_k, u_{k+1},...u_n)=det_2(u_1,...,u_{k+1},u_k,...u_n)$$

Pero, me doy cuenta de que este método sólo sirve para los números naturales, puesto que así está axiomatizado. Lógicamente veo posible sólo que esto demuestre que $det_1=det_2$, sólo si mediante combinaciones lineales con los vectores de la matriz identidad llego a cualquier matriz.

[Weip]

Re: Determinante

No había caído, y con esto se demuestra que la función determinante es única¿?

Fíjate que hablo de un determinante y no de el determinante. Que esta aplicación es única se demuestra a posteriori. Básicamente se trata de ver que el determinante de las matrices elementales y el de las matrices invertibles está bien determinado (ya sabes, $|A^{-1}|=1/|A|$ y estas cosas). Una vez tienes esto ya has acabado puesto que si la matriz no es invertible, su determinante es cero.

Y al demostrar que la definición anterior de la suma de los productos, etc. coincide con la función determinante, se demuestra pues que la fórmula para el determinante es ésa misma¿?

Sí, con esta definición puedes derivar los teoremas correspondientes a la fórmula que ha puesto The Higgs Particle y a la definición recurrente que ha comentado Ángel.

La inducción para demostrar lo primero, ¿consistiría demostrar que para la matriz identidad cualquier función determinante da 1 (por definición), y que las 2 propiedades siguientes, junto con la hipótesis de que la función determinante es correcta para ciertas matrices, implican que vale para cualquier otra matriz (creada por una combinación lineal de dos vectores o el intercambio de dos vectores)?

Creo que no te entiendo. Yo he dado una definición así que no hay nada que demostrar. Que el determinante de la identidad es uno es por decreto. Lo mismo para las otras dos propiedades. Otra cosa es que a partir de aquí falte demostrar la existencia y unicidad del determinante y otras propiedades conocidas como la regla de Laplace o la alternancia (por decir algunas). Agradecería que formulases la pregunta de otra forma a ver si veo lo que quieres decir.

[alexpglez]

Re: Determinante

cumple las siguientes propiedades:

1) Normalización: el determinante de la matriz identidad es uno.
2) Linealidad por columnas: $det(a_1,...,\lambda a_{k}+\mu a_k',...,a_n)=\lambda det(a_1,...,a_k,...,a_n)+\mu det(a_1,...,a_k',...a_n)$, con $\lambda$ y $\mu$ constantes reales y $1 \leqslant k \leqslant n$.
3) Antisimetría adyacente: si la matriz tiene dos columnas iguales y adyacentes entonces su determinante es cero.

No había caído, y con esto se demuestra que la función determinante es única¿? Y al demostrar que la definición anterior de la suma de los productos, etc. coincide con la función determinante, se demuestra pues que la fórmula para el determinante es ésa misma¿?

La inducción para demostrar lo primero, ¿consistiría demostrar que para la matriz identidad cualquier función determinante da 1 (por definición), y que las 2 propiedades siguientes, junto con la hipótesis de que la función determinante es correcta para ciertas matrices, implican que vale para cualquier otra matriz (creada por una combinación lineal de dos vectores o el intercambio de dos vectores)?

[The Higgs Particle]

Re: Determinante

Lo único que en la notación que yo he visto, no conozco ese $i(\sigma)$. Normalmente se define la función "signo de la permutación" $\epsilon(\sigma)$, que vale $1$ si $\sigma$ descompone como un número par de transposiciones, y -1 si lo hace como un número impar. De esa forma se escribe $\det(A)=\dst \sum_{\sigma \in S_n} \epsilon(\sigma) a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} ... a_{n \sigma(n)}$. ¿Entiendo que en tu caso $i(\sigma)$ es el número de transposiciones en que descompone?

En mi libro pone: "Llamamos índice de una permutación al número total de inversiones que resenta una permutación $\sigma$, y se representa como $i(\sigma)$".
De esta forma, luego divide en permutaciones pares en las que $i (\sigma)$ es par (que hará, como tú dices, que $\left( -1\right)^{i(\sigma)} = 1$) y las permutaciones impares, con $i(\sigma)$ un número impar, que hará luego $\left( -1\right)^{i(\sigma)} = -1$.
Vamos, es lo mismo que en lo tuyo, porque lo que en la fórmula de mi libro pone $\left( -1\right)^{i(\sigma)}$ en la tuya lo llamas $\epsilon(\sigma)$



Muchas gracias por corregirme el ejercicio. ¡Qué fallo el de dejarme los productos!

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Weip, muchas gracias por aportarme otra definición y, también, por lo de orden de grupo, que sabes que me encanta saber esas cosas

[Weip]

Re: Determinante

Buenas, vengo a aportar una tercera definición de determinante para reforzar lo que dice Ángel. Un determinante de orden $n$ es una aplicación $det:M_{n \times n}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ que cumple las siguientes propiedades:

1) Normalización: el determinante de la matriz identidad es uno.
2) Linealidad por columnas: $det(a_1,...,\lambda a_{k}+\mu a_k',...,a_n)=\lambda det(a_1,...,a_k,...,a_n)+\mu det(a_1,...,a_k',...a_n)$, con $\lambda$ y $\mu$ constantes reales y $1 \leqslant k \leqslant n$.
3) Antisimetría adyacente: si la matriz tiene dos columnas iguales y adyacentes entonces su determinante es cero.

Un detallito por si te interesa:

donde $|S_n|$ es el cardinal (leí que también se podría representar como $\# S_n$, ¿no?) del conjunto de todas las permutaciones posibles

En el contexto de los grupos también se le llama orden del grupo.