Cómo probar la siguiente desigualdad - Números complejos

[Weberger]

Probar lo siguiente, donde Re(z)>0:

$|z-1| < |\sqrt{z^2-1}| < |z+1|.$

¿quien me puede ayudar a resolverlo?. Gracias

[Weberger]

Yo lo resuelvo:
Primero probamos la parte 1: $|z-1| < |\sqrt{z^2-1}|$
$|z-1| < |z+1|$
$|z-1||z-1| < |z-1||z+1|$
$|z-1|^2 < |(z-1)(z+1)|$
$|z-1| <\sqrt{|(z-1)(z+1)|}$
$|z-1| < |\sqrt{z^2-1}|$
Y la parte 2 es practicamente lo mismo. qed.