Calcular medida de un segmento

[crishchess]

Hola por mas que lo intento no me resulta el siguiente ejercicio

En la figura adjunta,$DB$ y $EC$ son alturas del triangulo $ACD$ que intersectan en F. Si $DF= 2$, $FB=3$ y $BC = 4$ cms, ¿Cuánto mide el segmento $EF$ ?



No me resulta solo se que por teorema de Pitágoras $FC=5$

Muchas gracias

[Richard R Richard]

si$\overline{FC}=\sqrt{\overline{BC}^2+\overline{FB}^2}=5=\sqrt{4^2+3^2}$

$\overline{BD}=\overline{BF}+\overline{FD}=2+3=5$

luego $\overline {CD} = \sqrt{\overline {BC}^2 + \overline {BD}^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41}$

$\angle FCD=\angle BCD-\angle BCF=\arcsin(\dfrac{\overline{BD}}{\overline{CD}})-\arcsin(\dfrac{\overline{BF}}{\overline{FC}})$

$\angle FCD=\angle BCD-\angle BCF=\arcsin(\dfrac{5}{\sqrt{41}})-\arcsin(\dfrac{3}{5})=$

has cuentas, luego

$\overline{EC}=\overline{CD}\cos(\angle FCD)$
Corregido gracias Alriga
y

$\overline{EF}=\overline{EC}-\overline{FC}$

quizá exista algo mas directo

Saludos

[Alriga]

El lado FC, efectivamente.

$FC=\sqrt{3^2+4^2}=5$

Ahora un posible camino alternativo es usar el teorema del coseno aplicado al triángulo BFC:

$BC^2=BF^2+FC^2-2\cdot BF\cdot FC\cdot \cos a$

$\cos a=\dfrac{3^2+5^2-4^2}{2\cdot 3\cdot 5}$

$a=0.927295 \ rad = 53.1301^o$

El ángulo b:

$b=\dfrac{\pi}2-a=0.643501 \ rad =36.8699^o$

Ahora aplicando la definición de seno al triángulo EDF:

$EF=2 \sin b$

$EF=1.2$

Saludos.

PD. Richard, nota que en el desarrollo se han colado un par de gazapos:

$\angle FCD=\angle BCD-\angle BCF=\arcsin(\dfrac{5}{\sqrt{41}})-\arcsin(\dfrac{\cancel 2}{5})=$

$\angle FCD=\angle BCD-\angle BCF=\arcsin(\dfrac{5}{\sqrt{41}})-\arcsin(\dfrac{3}{5})=$

has cuentas, luego

$\overline{EC}=\overline{CD}\cancel{\sin}(\angle FCD)$

$\overline{EC}=\overline{CD}\cos(\angle FCD)$

y

$\overline{EF}=\overline{EC}-\overline{FC}$