1r ciclo Regiones del plano adyacentes con n circunferencias.

[MSenrob]

Buenas:

Dado el siguiente problema:

Prueba que, usando solamente dos colores, es posible colorear todas las regiones que se forman al trazar n circunferencias en el plano de forma que regiones adyacentes tengan distinto color. Se entiende que dos regiones son adyacentes cuando tienen un arco de circunferencia como frontera común.

He intentado buscar una demostración geométrica, y haciendo un dibujo aproximado a lo descrito en el enunciado es verdad que para un número finito de circunferencias se cumple. Sin embargo, no sé llegar a una demostración generalizada para n circunferencias y expresarlo analíticamente. ¿Podríais indicarme por donde comenzar?

Un saludo.

[angel relativamente]

Re: Regiones del plano adyacentes con n circunferencias.

No tengo mucho tiempo para pensar, pero te dejo unas hints que quizá te sean de ayuda.
1- Estos problemas se suelen formalizar con teoría de grafos. Por ejemplo, aquí cada región podría ser un vértice y si dos regiones son adyacentes entonces le ponemos una arista entre ellos. Observa que lo que te pide el problema es demostrar que es imposible que se forme un triángulo.
2- Yo intentaría tirar por inducción. Supón que no hay ningún triángulo para n y añadiendo una circunferencia arbitraria prueba que no formará triángulo.

[Richard R Richard]

Re: Regiones del plano adyacentes con n circunferencias.

estas seguro que son dos los colores

http://forum.lawebdefisica.com/threa...res-colores%29

[Alriga]

Re: Regiones del plano adyacentes con n circunferencias.

Prueba que, usando solamente dos colores, es posible colorear todas las regiones que se forman al trazar n circunferencias en el plano de forma que regiones adyacentes tengan distinto color. Se entiende que dos regiones son adyacentes cuando tienen un arco de circunferencia como frontera común.

Mira una demostración aquí: The 2-colour theorem

En general, como te ha explicado Angel, este tipo de demostraciones se atacan a menudo usando Teoría de Grafos. En este pdf tienes ejemplos:

Map coloring theorems

Saludos

[MSenrob]

Re: Regiones del plano adyacentes con n circunferencias.

Interesantes aportes, les echaré un vistazo a todos. Muchas gracias.

Un saludo.

[carroza]

Re: Regiones del plano adyacentes con n circunferencias.

Hola.
Usando inducción.

Para n=1 (un circulo). Colorea de negro el interior y de blanco el exterior.

Dado el caso n si añades un nuevo círculo (n +1) invierte todos los colores dentro del nuevo círculo, y los dejas iguales fuera.

Con esto te aseguras de que los colores siguen siendo diferentes a los lados de las fronteras iniciales (con los n circulos) y se hacen diferentes en las fronteras producidas por el círculo n+1.

Saludos.