1r ciclo Demostrar igualdad de ángulos

[The Higgs Particle]

Me piden demostrar que $\alpha = \beta$, siendo éstos los ángulos (azules en el dibujo) que forman las rectas que unen los puntos $Q(x,0)$ y $Q'(0,y)$ (siendo $x = y$) con el punto $P(x_1,y_1)$ contenido en la bisectriz del primer cuadrante:

He relacionado $\alpha$ y $\beta$ con los triángulos de lados $(\bar{OQ}, \dd (Q,P), r)$ y $\bar{OQ'}, \dd (Q'P),r$

Después, he demostrado que todos sus lados son iguales (se ve que la hipotenusa, $r$, es igual para ambos; además, el problema dice que $x=y$), haciendo ver que $\dd (Q,P)= \dd (Q', P)$:

$\dd (Q',P) = \sqrt{(x_1-0)^2+(y_1-y)^2} = \sqrt{x^2_1+y_1^2-2y_1y+y^2}$

$\dd (Q,P) = \sqrt{(x_1-x)^2+(y_1-0)^2} = \sqrt{x_1^2+y_1^2-2x_1x +x^2}$

Y como $x=y$ y $x_1=y_1$ (puesto que se encuentra en una recta que forma $45 \º$ con la horizontal), tenemos que:

$\dd (Q,P) = \dd (Q',P)$

Empleando el teorema del coseno, para cada triángulo:

$r^2=y^2 + \dd (Q',P)^2-2y \dd (Q',P) \cos(\delta_1)$

$r^2=x^2 + \dd (Q,P)^2-2x \dd (Q,P) \cos(\delta_2)$

Si consideramos de nuevo que $x=y; \dd (Q',P) = \dd (Q,P) \to \cos(\delta_1)=\cos(\delta_2) \to \delta_1 = \delta_2$

Como ambos son triángulos en el plano euclídeo, la suma de sus ángulos es constante (180º), por lo que:

$\theta + \delta_1 + \beta = \theta + \delta_2 + \alpha$

Por lo que:

$\boxed{\alpha=\beta}$

¿Es correcto?

[arivasm]

Re: Demostrar igualdad de ángulos

Yo lo encuentro correcto. De todos modos, quizá sea más corto de esta manera: con el teorema del coseno se demuestra inmediatamente que Q'P = QP. Consecuencia: los dos triángulo, OQP y OQ'P tienen sus tres lados iguales; por tanto, sus ángulos correspondientes también lo son.