Secundaria Números complejos

[The Higgs Particle]

"Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en $P_1(2+i)$ y $P_2(5+3i)$. Halla los otros dos vértices"

Sé resolver este problema utilizando únicamente geometría con vectores.
Teniendo en cuenta que hay dos cuadrados, uno $C$ con los otros dos puntos por encima de $P_1,P_2$ y otro $C'$ por debajo, hallo, por ejemplo, los puntos $P_3, P_3'$ utilizando:

1) $\left\vert{} \vec{P_1P_2} \right\vert{} = \left\vert{} \vec{P_1P_3} \right\vert{} = \left\vert{} \vec{P_1P_3'} \right\vert{}$

2) $m(P_1P_3) = m (P_1P_3') = \dst\frac{-1}{m(P_1P_2) }$

3) Si $\vec{P_3P_1} = (-2,3)$ $\wedge$ $\vec{P_3'P_1} = (2,-3)$:

$P_3(a,b)-P_1(2,1) = (-2,3); P_3'(a',b') - P_1(2,1) = (2,-3)$



Pero si tengo que resolverlo únicamente con números complejos, no sé por dónde tirar, aunque me parece que sería expresándolos en forma polar, ya que serían las raíces cuartas de un número complejo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Es decir, se repiten cada 90º, pero al no tener la circunferencia centrada en el origen de coordenadas, no sé cómo resolverlo

[Jaime Rudas]

Re: Números complejos

"Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en $P_1(2+i)$ y $P_2(5+3i)$. Halla los otros dos vértices"

Sé resolver este problema utilizando únicamente geometría con vectores.
Teniendo en cuenta que hay dos cuadrados, uno $C$ con los otros dos puntos por encima de $P_1,P_2$ y otro $C'$ por debajo, hallo, por ejemplo, los puntos $P_3, P_3'$ utilizando:

1) $\left\vert{} \vec{P_1P_2} \right\vert{} = \left\vert{} \vec{P_1P_3} \right\vert{} = \left\vert{} \vec{P_1P_3'} \right\vert{}$

No sé si estoy entendiendo bien el problema, pero, si P_1 y P_2 son vértices consecutivos, ¿no sería más bien así?:

$\left\vert{} \vec{P_1P_2} \right\vert{} = \left\vert{} \vec{P_1P_3} \right\vert{} = \left\vert{} \vec{P_2P_3'} \right\vert{}$

Edito:

Ya entendí: P_3 es de un cuadrado y P_3' de otro

[alexpglez]

Re: Números complejos

Yo creo que mediante complejos se podría hacer de rotando 90º los puntos multiplicando por $e^{i \pi/2 }=i$ respecto de un determinado centro:
Llamemos $a$ el número complejo que describe las coordenadas del centro, llamemos $P_n'=P_n-a$ a cualquier punto pasado al nuevo sistema de centro a.
Si P_1 y P_2 son consecutivos $P_2'=P_1'e^{i \pi/2}$ (o $P_1'=P_2'e^{i \pi/2}$ depende de cómo se interprete el ser consecutivo), de tal forma que de esta ecuación puedes hallar $a$.
Ahora puedes hallar P_3' y P_4' (previamente sabiendo el valor de P_2') sin más que rotar 90º otra vez, $P_3'=P_2'e^{i \pi/2}$, $P_4'=P_3'e^{i \pi/2}$. Y con esto aplicas la transformación inversa $P_n=P_n'+a$, y ya tienes P_3 y P_4.

Creo que está correcto, pero que alguien lo confirme por si acaso.

PD: lo de multiplicar $e^{i \pi/2}$ lo puedes ver de otra forma. Si P_1' es solución de una raíz cuarta, $z=P_1'^4$, cualquier número $P_1'e^{i k \pi/2}$ es solución de la raíz: $(P_1' e^{ik \pi/2})^4=P_1'^4 e^{i k 2 \pi}=P_1'^4=z$ (siendo k entero)

[Richard R Richard]

Re: Números complejos

Hola. no se si es tarde para aportarte una solución.
Los lados del cuadrado efectivamente tendran el mismo modulo, esto te da una relación entre los componentes del punto P_3, pero a la vez puedes plantear el producto escalar de $\vec{P_1P_2}\cdot\vec{P_1P_3}=0$ porque los lados son ortogonales y te dara una segunda relación entre las dos componentes, entonces te quedara resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas.