Dar una parametrización de la siguiente curva:

[jdcc]

Sea D = {(x, y) ∈ R2 / 1 ≤ x+y ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ 0}. Sea γ la curva que delimita la frontera de D orientada positivamente. Dar una parametrización de la curva γ.

[delmar7]

Hola

Es conveniente mostrar que se ha hecho por resolver el por resolver el problema.

Es bueno considerar un esquema donde se indica la región D y también indicar su frontera la curva $\gamma$, la cual se ha de parametrizar de tal manera que se recorra en sentido antihorario. Hago un esquema :



Se ve que la frontera es la reunión de los segmentos AB, BC,CD y DA, ahora hay que parametrizar :

AB
La ecuación vectorial del segmento horizontal AB, es $\vec{r_1}(t)=(t,0), \ \ \ \ 1\leq t \leq 2$

BC

Este segmento pertenece a la recta $x+y=2$ de tal manera que B(2,0) y C(0,2), una parametrización inmediata es con la ecuación vectorial $\vec{r_2}(s)=(2-s,s), \ \ \ \ 0\leq s\leq 2$, se ha tomado como parámetro y=s ; pero la idea es que exista un solo parámetro , es decir t, en consecuencia se ha de buscar una función g(t) inyectiva , tal que $s=g(t), \ \ \ 2\leq t\leq 4$ se ha puesto 4, pero puede ser otro número, lo importante es que empieze con 2, y $g(2)=0, \ \ g(4)=2$ una forma sencilla es que $g(t)$ sea una recta en ese caso se tiene $g(t)=t-2$ entonces $\vec{r_2}(t)=(2-g(t),g(t))=(4-t,t-2), \ \ \ 2\leq t\leq 4$ de una manera semejante se parametriza CD y DA

Saludos

[Richard R Richard]

Hola delmar7 , hace tiempo en el foro de mates, me enteré que había una parametrización directa en función del parámetro $t$ que no cambie de función para cada intervalo, el caso era para para un cuadrado.
Viendo este hilo se me ocurrio llevar desde ese cuadrado hasta esta figura, pero me queda tan rebuscado que espere a ver otra opción, la presento y dime que opinas.

para un cuadrado de lado L existe la siguiente parametrización

$$\begin{pmatrix}{ x}\\{y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{ \cos\theta}&{\sin\theta}\\{-\sin\theta}&{\cos\theta}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}{ \cos(\frac\pi 2 t)\cdot |{\cos(\frac\pi 2 t)}|-\sin(\frac\pi 2 t)\cdot |{\sin(\frac\pi 2 t)}|}\\{\sin(\frac\pi 2 t)\cdot|{\sin(\frac\pi 2 t)}|+\cos(\frac\pi 2 t)\cdot|{\cos(\frac\pi 2 t)}|}\end{pmatrix}\dfrac{L}{2}+\begin{pmatrix}{ h}\\{k}\end{pmatrix}$$

donde h,k son las coordenadas del centro del cuadrado y $\theta$ es el ángulo de rotación antihorario. en este caso será $\theta=-\dfrac{\pi}{4}$

Bien pero que pasa t es un parámetro continuo y aunque no se indique quisiera que la parametrización funcione para todo t, con lo que las parametrizaciones por intervalo cubren la grafica para los t del intervalo dado, pero no de $t \in (-\infty,\infty)$

así que primero se me ocurre mantener todo entre 0 y $2\pi$
invento un parámetro $t'$ que luego iré reemplazando para no complicar las formulas demasiado

$t'=\dfrac2{\pi}\arcsin(\sin \frac{\pi}{2}t)$

t' se mantendrá entre 0 y 4

ahora como un cuadrado tiene todos los lados iguales el L/2 que multiplica a las componentes de la ecuación del cuadrado por igual, pero en este caso debe tener distintas funciones de distinta longitud de lados, así que se me ocurrio hacer una funcion que me permita cambiar de función a medida que cambia el parámetro t'

pensando que una parábola tiene dos raíces y que si es abierta hacia los y positivos entre ambas raíces la parábola en negativa, y sabiendo que dividir por el modulo del mismo número siempre a 1 o -1 permite crear una función que sea 1 dentro del intervalo y cero fuera

$F(t',a,b)=\dfrac12-\dfrac12 \dfrac{(t'-a)(t'-b)}{|(t'-a)(t'-b)|}$ que será 1 dentro del intervalo a y b pero 0 fuera de él

tenemos 5 puntos donde queremos cambiar el intervalo (0,1,2,3,4) , donde 4 es equivalente a 0 y se repite el ciclo

Así tenemos que hacer 4 funciones

$F(t',0,1)=\dfrac12-\dfrac12 \dfrac{(t')(t'-1)}{|(t')(t'-1)|}$

$F(t',1,2)=\dfrac12-\dfrac12 \dfrac{(t'-1)(t'-2)}{|(t'-1)(t'-2)|}$

$F(t',2,3)=\dfrac12-\dfrac12 \dfrac{(t'-1)(t'-2)}{|(t'-2)(t'-3)|}$

$F(t',3,4)=\dfrac12-\dfrac12 \dfrac{(t'-3)(t'-4)}{|(t'-3)(t'-4)|}$

Así el L/2 constante en la Ecuacion 1 tomara distintos valores g(t)

$$\begin{pmatrix}{ x}\\{y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{ \cos\theta}&{\sin\theta}\\{-\sin\theta}&{\cos\theta}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}{ (\cos(\frac\pi 2 t)\cdot |{\cos(\frac\pi 2 t)}|-\sin(\frac\pi 2 t)\cdot |{\sin(\frac\pi 2 t)}|})g_x(t')\\{(\sin(\frac\pi 2 t)\cdot|{\sin(\frac\pi 2 t)}|+\cos(\frac\pi 2 t)\cdot|{\cos(\frac\pi 2 t)}|})g_y(t')\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{ h}\\{k}\end{pmatrix}$$

vamos a averiguar la longitud de lo lados del trapecio definido por los puntos $(2,0),(0,2),(0,1),(1,0)$

su centro esta en $\left(\dfrac34 \sqrt2,\dfrac34 \sqrt2\right)$

los lados miden $2\sqrt2,1,\sqrt2,1$ respectivamente

ahora se puede generar una función que cambie longitudes en función del parámetro t'

donde $g_x(t')=\dfrac12 2\sqrt2 F(t',0,1)+\dfrac12 (2\sqrt2-(\sqrt2 \cdot(t'-1))F(t',1,2)+\dfrac12 \sqrt2 F(t',2,3)+\dfrac12 (\sqrt2+(\sqrt2 \cdot(t'-3))F(t',3,4)$

$g_y(t')=\dfrac12 \dfrac{\sqrt2}{2}$

Es dificil representar en una ecuacion sola todo junto en latex , pero creo que funciona.

[delmar7]

Hola Richard R Richard, lo veré con detalle, más tarde.

Un saludo