1r ciclo Duda sistema de ecuaciones con dos parámetros distintos

[CARLIN]

Hola, tuve problemas con este ejercicio de sistema de ecuaciones:

1. Discute, según los valores de a y b reales, el número de soluciones del siguiente sistema haciendo uso de las operaciones elementales (método de Gauss):

(a+1)x + (a+b)y + bz = 1

(-a)x + (-a)y -z = 1

ax + ay = 1

He seguido las indicaciones del enunciado, h[FONT=Roboto]e hecho F2+F3, luego hice el determinante (para aplicar luego el teorema de Rouché) y me quedó a=0 y b=1 ¿lo tengo bien?

Gracias[/FONT]

[Alriga]

Re: Duda sistema de ecuaciones con dos parámetros distintos

Hola, si te preguntan "Discute, según los valores de a y b reales, el número de soluciones del siguiente sistema" la respuesta no será nunca un escueto
a=0 y b=1

Lo que debes responder es para que rangos de valores de a y b, el sistema es:

1. Incompatible (No admite ninguna solución)

2. Compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones)

3. Compatible determinado (tiene una solución y es única)

En este caso, sumando las 2 últimas filas obtienes que $z=-2$ . Sustituyendo, te queda el sistema:

$$(a+1) \ x+(a+b) \ y=1+2b$$

$$a \ x+a \ y=1$$

Y aquí aplicar Rouché-Frobenius

$\Delta=(a+1)a-(a+b)a=a(1-b)=0$ Los puntos a explorar son pues $a=0$ y $b=1$

Si no me he equivocado en los cálculos me sale que el sistema de ecuaciones es:

Incompatible

1. Cuando $a=0$

2. Cuando $b=1 \ y \ a \neq \dfrac 1 2$

Compatible indeterminado

Cuando $b=1 \ y \ a =\dfrac 1 2$

Compatible determinado

Cuando $a \neq 0 \ y \ b \neq 1$

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Duda sistema de ecuaciones con dos parámetros distintos

Perdon Alriga una pregunta al paso ....el sistema de ecuaciones no sería incompatible cuando una ecuacion afirma $x=2$ y en otra $x =3$ por poner ejemplos.?

Es decir mi forma de verlo es que cuando por gauss el sistema queda con $0=0$ es indeterminado osea cuando una ecuacion es linealmente dependiente de las otras y eso se logra con $a=0$

la ecuacion 2 te queda $-ax-ay-(-2)=1\Rightarrow ax+ay=1$

y si no me equivoco con $b=1$ el sistema es incompatible salvo cuando $a= 0$

para el resto de los valores el sistema tendria solución .


Saludos

[Alriga]

Re: Duda sistema de ecuaciones con dos parámetros distintos

No Richard, observa que sustituyendo $a=\dfrac 1 2$ y $b=1$ en ambas ecuaciones se obtiene:

$$\dfrac 3 2 \ x+\dfrac 3 2 \ y=3$$

$$\dfrac 1 2 \ x+\dfrac 1 2 \ y=1$$

El sistema es compatible, puesto que si multiplicas la ecuación (2) por el número 3 se obtiene exactamente la ecuación (1)

En este caso el sistema es pues compatible, aunque indeterminado.

1) Con $a=\dfrac 1 2$ y $b=1$ Las infinitas soluciones son:

$x=x$

$y=2-x$

$z=-2$

2) Cuando $a \neq 0 \ y \ b \neq 1$ la solución es única:

$x=\dfrac{b(2a-1)}{a(1-b)}$

$y=\dfrac{2ab-1}{a(b-1)}$

$z=-2$

3) El sistema es incompatible:

3.1) Con $a=0$ siempre, valga lo que valga $b$ (puesto que la ecuación (2) $a \ x+a \ y=1$ queda convertida en $0=1$ )

3.2) Con $b=1$ siempre que $a \neq \dfrac 1 2$

Saludos.