1r ciclo Ecuación segundo grado en C

[The Higgs Particle]

Me piden resolver la ecuación $z^2-(3+i)z +4+3i$

Hacerlo por la forma binómica es un infierno, así que he intentado resolverlo con la ecuación:

$z = \dst \frac{(3+i) \pm \sqrt{(3+i)^2 -4 (4+3i)}}{2} = \dst \frac{(3+i) \pm \sqrt{-8-6i}}{2} = \dst \frac{(3+i) + i \sqrt{8 +6i}}{2}$

Pero no sé cómo resolver lo que aparece en el interior de la raíz cuadrada.

[Alriga]

Re: Ecuación segundo grado en C

Las raíces enésimas de un número complejo $a+b i=R \ \angle \phi$ se calculan así:

$\sqrt[n]{R\angle \phi}=M\angle{Arg}$

$$M=\sqrt[n]{R}$$

$$Arg=\dfrac{\phi+k \cdot 360^o}{n}$$

Para el caso concreto de este ejercicio, $\sqrt{8+6i}$

$R=\sqrt{8^2+6^2}=10$

$\phi=\arctan \dfrac 6 8=36.87^o$

$8+6i=10 \ \angle 36.87^o$

$\sqrt{8+6i}=\sqrt{10 \ \angle 36.87^o}$

$M=\sqrt{10}$

$Arg_1=\dfrac{36.87}{2}=18.43^o$

$Arg_2=\dfrac{36.87+360}{2}=198.43^o$

Por lo tanto las 2 raíces cuadradas de $\sqrt{8+6i}$ son:

$\sqrt{10} \ (\cos{18.43^o}+i \sin{18.43^o})=3+i$

$\sqrt{10} \ (\cos{198.43^o}+i \sin{198.43^o})=-3-i$

Por lo tanto, las 2 soluciones de la ecuación de segundo grado $z^2-(3+i)z +4+3i=0$ son:

$z=1+2 i$

$z=2-i$

Saludos