1r ciclo Ecuación segundo grado en C

[The Higgs Particle]

Hola, tengo este ejercicio que sé que es bastante sencillo, pero me salen 4 soluciones y no 2, como debería ser según el teorema fundamental de álgebra.

Resolver en $\mathbb{C}$:

$\boxed{z^2-(1+i)z+i = 0}$

Como es de segundo grado:

$z = \dst \frac{(1+i) \pm \sqrt{(1+i)^2-4i}}{2} = \frac{(1+i) \pm \sqrt{-2i}}{2 } = \frac{(1+i) \pm \sqrt{2} \times \sqrt{-i}}{2}$

Sabiendo que

$\sqrt{-i} = z_0 \in \mathbb{C}$ : $z_0^2 = -i$

Obteniendo para esto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

De forma que:

$z = \dst \frac{(1+i) + \sqrt{2} e^{\frac{3 \pi}{4 }i}}{ 2}, \frac{(1+i) - \sqrt{2} e^{\frac{3 \pi}{4 }i}}{ 2}, \frac{(1+i) + \sqrt{2} e^{\frac{7 \pi}{4 }i}}{ 2}, \frac{(1+i) - \sqrt{2} e^{\frac{7 \pi}{4 }i}}{ 2}$

[Alriga]

Re: Ecuación segundo grado en C

$\boxed{z^2-(1+i)+i = 0}$

$z^2-(1+i)+i = z^2-1$

$z^2-1=0$

1) $z=1$

2) $z=-1$

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Ecuación segundo grado en C

$z^2-(1+i)+i = z^2-1$

Lo siento, Alriga, copié mal del enunciado. El $(1+i)$ está multiplicando también a $z$. Ya lo he corregido. Perdona las molestias

[Alriga]

$\boxed{z^2-(1+i)z+i = 0}$

Re: Ecuación segundo grado en C

$z=\dfrac{1+i \pm \sqrt{-2 i}}{2}$

1) $\sqrt{-2 i}=\sqrt 2 \cdot \exp{\dfrac{-i \pi}{4}}=1-i$

2) $\sqrt{-2 i}=\sqrt 2 \cdot \exp{\dfrac{3 i \pi}{4}}=-1+i$

1) $z=\dfrac{1+i+(1-i)}{2}=1$

$z=\dfrac{1+i-(1-i)}{2}=i$

2) $z=\dfrac{1+i+(-1+i)}{2}=i$

$z=\dfrac{1+i-(-1+i)}{2}=1$

Las soluciones son:

$z=1$

$z=i$

Saludos

[The Higgs Particle]

Re: Ecuación segundo grado en C

Ah vale. Sólo me faltaba pasar las soluciones a coordenadas rectangulares. Gracias