1r ciclo Aplicaciones y matrices

[pilimafiqui]

Sea R^3 y en el consideramos los vectores v1= (3,0,1), v2= (-1,1,1) v3=(2,1,3).
a) Probar que B={v1, v2, v3} es una base de R^3.
b) Dado el endomorfismo de R^3 definido por
f(x,y,z) = ( 3x-y+2z, y+ z, x+y+3z).
Calcular la matriz BC (f) y la matriz BC(f) siendo C la base canónica de R3.
Lo que falta por hacer es la última matriz que por más vueltas que le doy no lo consigo

La última es la matriz CB(f)

[delmar7]

Hola

Entiendo que se ha demostrado que B, es una base de $R^3$ y que se determinó la matriz de f, respecto a las bases B y C, se representa $M_{BC}(f)$, entonces lo que se ha de encontrar es $M_{CB}(f)$, para esto considerar la definición de la matriz de una transformación respecto a las bases C y B, ¿Qué nos dice la definición ? Que la columna j, de la matriz, la constituyen las componentes escalares de $f(e_j)$ respecto a la base B, donde $e_j$ es el vector j , de la base canónica C; y j=1,2,3. Entonces lo primero hallar $f(e_j)$ con j=1,2,3

$f(e_1)=f(1,0,0)=(3,0,1)$

$f(e_2)=f(0,1,0)=(-1,1,1)$

$f(e_3)=f(0,0,1)=(2,1,3)$

Luego hallar las componentes de cada vector respecto a la base B, denominándolas $c_1,c_2,c_3$ se tiene que para $f(e_1)$ se cumplirá :

$f(e_1)=c_1v_1+c_2v_2+c_3v_3 \Rightarrow (3,0,1)=c_1(3,0,1)+c_2(-1,1,1)+c_3(2,1,3)$

En un caso genérico determinar las componentes, equivale a resolver un sistema lineal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas; pero en este caso particular se ve que la solución es $c_1=1, \ c_2=c_3=0$, esa es la primera columna de $M_{CB}(f)$, de manera semejante las otras columnas, la segunda son las componentes de $f(e_2)$ y la tercera las componentes de $f(e_3)$ y en todos esos casos las soluciones son a ojo, $c_1=0, \ c_2=1, \ c_3=0$ para la segunda y $c_1=0, \ c_2=0, \ c_3=1$ para la tercera, con eso armas la matriz.

Nota : Se pueden expresar los sistemas de ecuaciones en forma matricial;pero no manejo bien el editor para construir matrices

Saludos