1r ciclo Duda sobre espacios vectoriales

[Forseti]

El enunciado es: Si V es un espacio vectorial de dimesnión 10 y U y W son subespacios de V de dimensión 8 y 9 respectivamente, solamente hay dos posibles valores para la dimensión de la intersección.
Mi respuesta es que la dimensión de la suma como máximo es la dimensión del espacio V, es decir 10, mientras que como mínimo debe ser la dimensión del mayor subespacio, es decir, 9.
Por lo tanto, la dimensión de la intersección estaría acotada entre dos valores según la fórmula de Grassmann. (dim U + dim W = dim(U+W) + dim (U intersección W)

[The Higgs Particle]

Re: Duda sobre espacios vectoriales

Es decir, según lo que dices, por Grassmann:

$\boxed{\dim(W \cap U) = \dim(U) + \dim(W) - \dim(U+W)}$

Donde:

$\dim(U) = 8$
$\dim(W)= 9$
$\dim(U+W)=10$ ó $\dim(U+W)=9$

Esto último supongo que te pedirán explicarlo más, y tendrás que recurrir a que "lo que se queda" en la suma son los vectores linealmente independientes.

Lo cual entonces significa:

$\boxed{\dim(W \cap U) = 7}$ ó $\boxed{\dim(W \cap U) = 8}$

Yo he llegado al mismo resultado que tú pero empezando por otro lugar, pero creo que se da menos vueltas.
Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión 10, su base canónica debe estar formada por 10 vectores linealmente independientes:

$V =<e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7,e_8,e_9,e_{10}>$

Al mismo tiempo, sabemos que $W$ tiene dimensión 9 (es decir, le falta sólo uno de los vectores de $V$ para tener dimensión 10). Por ejemplo:

$W =<e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7,e_8,e_9>$

Ahora nos dicen que $U$ tiene dimensión 8. Entonces, tenemos 2 posibilidades:

1. $U$ contiene ese vector que le faltaba a $W$:

$U= <e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7,e_{10}>$

De forma que, como se ve a simple vista,

$W \cap U = <e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7> \to \boxed{\dim(W \cap U) = 7}$

2. A $U$ también le falta ese vector:

$U=<e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7,e_8>$

Así:

$W \cap U = e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7,e_8 \to \boxed{\dim(W \cap U) = 8}$

[Forseti]

Re: Duda sobre espacios vectoriales

Es decir, según lo que dices, por Grassmann:

$\boxed{\dim(W \cap U) = \dim(U) + \dim(W) - \dim(U+W)}$

Donde:

$\dim(U) = 8$
$\dim(W)= 9$
$\dim(U+W)=10$ ó $\dim(U+W)=9$

Esto último supongo que te pedirán explicarlo más, y tendrás que recurrir a que "lo que se queda" en la suma son los vectores linealmente independientes.

Lo cual entonces significa:

$\boxed{\dim(W \cap U) = 7}$ ó $\boxed{\dim(W \cap U) = 8}$

Yo he llegado al mismo resultado que tú pero empezando por otro lugar, pero creo que se da menos vueltas.
Si $V$ es un espacio vectorial de dimensión 10, su base canónica debe estar formada por 10 vectores linealmente independientes:

$V =<e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7,e_8,e_9,e_{10}>$

Al mismo tiempo, sabemos que $W$ tiene dimensión 9 (es decir, le falta sólo uno de los vectores de $V$ para tener dimensión 10). Por ejemplo:

$W =<e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7,e_8,e_9>$

Ahora nos dicen que $U$ tiene dimensión 8. Entonces, tenemos 2 posibilidades:

1. $U$ contiene ese vector que le faltaba a $W$:

$U= <e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7,e_{10}>$

De forma que, como se ve a simple vista,

$W \cap U = <e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7> \to \boxed{\dim(W \cap U) = 7}$

2. A $U$ también le falta ese vector:

$U=<e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7,e_8>$

Así:

$W \cap U = e_1,e_2,e_3,e_4,e_5,e_6,e_7,e_8 \to \boxed{\dim(W \cap U) = 8}$

Muchas gracias por tu respuesta. Es verdad que con tu explicación se tarda menos.
Este ejercicio me parecía fácil de ver de forma intuitiva, pero a la hora de demostrarlo formalmente se me complicaba un poco.