1r ciclo Duda aplicaciones lineales

[Forseti]

Sea $U_1={<(1,0,1,0),(0,1,0,1),(2,-1,2,-1)>}$ un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^4$

Y sea $f: \mathbb{R}^4 ----> \mathbb{R}^4$

$f(x,y,z,t) ----> (x,y+z,2x,x+y+t)$

Me piden que determine $f(U_1)$.




Haciendo cuentas me sale que $f(U_1) = (1,1,2,1),(0,1,0,2),(2,1,4,0)$

Mi duda es la siguiente:

Esta imagen de $f(U_1)$ que obtengo es un conjunto de generadores de la imagen necesariamente? O es necesario que cumpla la condición de que sea sobreyectiva para poder afirmar esto?

[The Higgs Particle]

Re: Duda aplicaciones lineales

Hasta donde yo sé, para que sea un conjunto de generadores es necesario que sea sobreyectiva.

Es decir, si tengo $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, ya sé que no puede ser sobreyectiva: $\dim(\mathbb{R}^3) > \dim(\mathbb{R}^2)$ (es decir, como mucho, voy a poder llevar desde $\mathbb{R}^2$ dos vectores linealmente independientes, pero claramente esto no es suficiente para generar $\mathbb{R}^3$)


- Como resumen: Sea la aplicación lineal

$f : V \to W$

1. Si $\dim(Ker(V)) = 0 \to \dim(V) = \dim(Img(V)) \to f$ es inyectiva.

Por lo tanto, para un conjunto $\left\{ v_1,...,v_n \right\} = Base(V)$, se cumple que $\left\{ f(v_1),...,f(v_n) \right\} \in W$ son linealmente independientes entre sí.


2. Si $\dim(W) \leqslant \dim(V) \to f$ es sobreyectiva.

Si $\left\{ v_1,...,v_n\right\} = Base(V) \to \left\{ f(v_1),...,f(v_n)\right\}$ es un sistema generador de $W$



3. Si $f$ es biyectiva:

$\left\{ v_1,...,v_n = Base(V )\right\} \to \left\{ f(v_1,...f(v_n))\right\} = Base(W)$

[Forseti]

Re: Duda aplicaciones lineales

Hasta donde yo sé, para que sea un conjunto de generadores es necesario que sea sobreyectiva.

Es decir, si tengo $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$, ya sé que no puede ser sobreyectiva: $\dim(\mathbb{R}^3) > \dim(\mathbb{R}^2)$ (es decir, como mucho, voy a poder llevar desde $\mathbb{R}^2$ dos vectores linealmente independientes, pero claramente esto no es suficiente para generar $\mathbb{R}^3$)


- Como resumen: Sea la aplicación lineal

$f : V \to W$

1. Si $\dim(Ker(V)) = 0 \to \dim(V) = \dim(Img(V)) \to f$ es inyectiva.

Por lo tanto, para un conjunto $\left\{ v_1,...,v_n \right\} = Base(V)$, se cumple que $\left\{ f(v_1),...,f(v_n) \right\} \in W$ son linealmente independientes entre sí.


2. Si $\dim(W) \leqslant \dim(V) \to f$ es sobreyectiva.

Si $\left\{ v_1,...,v_n\right\} = Base(V) \to \left\{ f(v_1),...,f(v_n)\right\}$ es un sistema generador de $W$



3. Si $f$ es biyectiva:

$\left\{ v_1,...,v_n = Base(V )\right\} \to \left\{ f(v_1,...f(v_n))\right\} = Base(W)$

Muchas gracias por tu respuesta.

Era lo que estaba pensando.

Entonces, cuando me piden hallar $f(U_1)$ , debería poner simplemente:


$f(U_1) = (1,1,2,1),(0,1,0,2),(2,1,4,0)$

Es decir, un conjunto de vectores o debería poner un conjunto de generadores?

$f(U_1) = <(1,1,2,1),(0,1,0,2),(2,1,4,0)>$


Edit:

Puede ser que la imagen de un conjunto de generadores siempre es un conjunto de generadores de la imagen y que la condición de que sea sobreyectiva solo nos indica que si la cumple es sistema de generadores de todo el espacio $W$ de llegada?

[angel relativamente]

Re: Duda aplicaciones lineales

Creo que aquí está habiendo una mezcla de nomenclatura. Por definición, si $U_1$ es el espacio GENERADO por tres vectores $u_1, u_2 , u_3$ entonces la imagen por $f$ de $U_i$ será el espacio GENERADO por los vectores $f(u_1), f(u_2) , f(u_3)$, y después habría que ver si estos vectores son independientes o no. Se tiene por tanto que $f(U_1) = <(1,1,2,1),(0,1,0,2),(2,1,4,0)>$. Lo otro no tiene ningún sentido, estarías diciendo que la imagen de una aplicación está formada por exclusivamente 3 vectores y eso no es cierto.

Lo que entiendo que te quería decir THP es que no siempre esos vectores son base ni tampoco tienen por qué completar el espacio total. Si tu aplicación $f$ va de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] la imagen de $U_1$ por $f$ no es $\mathbb{R}^4$ sino que es, por definición, la GENERADA por las imágenes de los vectores que generan $U_1$ tal como se ha escrito e independientemente de si la función es inyectiva, suprayectiva o biyectiva.

$\dim(W) \leqslant \dim(V) \to f$ es sobreyectiva

Cuidado que esa implicación es falsa. Sin más piensa en la aplicación $f:V\to W$ que verifique lo que has dicho y definida de manera que $f(v)=0$. La imagen de esa aplicación es el cero que está muy lejos de ser $W$. La implicación que estabas pensando creo que es la contraria: Si la función es sobreyectiva entonces se ha de dar esa relación entre dimensiones.
Con respecto a lo de que si el núcleo es el 0 entonces es inyectiva, se tiene que es un si y solo sí.

Saludos,

[Forseti]

Re: Duda aplicaciones lineales

Creo que aquí está habiendo una mezcla de nomenclatura. Por definición, si $U_1$ es el espacio GENERADO por tres vectores $u_1, u_2 , u_3$ entonces la imagen por $f$ de $U_i$ será el espacio GENERADO por los vectores $f(u_1), f(u_2) , f(u_3)$, y después habría que ver si estos vectores son independientes o no. Se tiene por tanto que $f(U_1) = <(1,1,2,1),(0,1,0,2),(2,1,4,0)>$. Lo otro no tiene ningún sentido, estarías diciendo que la imagen de una aplicación está formada por exclusivamente 3 vectores y eso no es cierto.

Lo que entiendo que te quería decir THP es que no siempre esos vectores son base ni tampoco tienen por qué completar el espacio total. Si tu aplicación $f$ va de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] a [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] la imagen de $U_1$ por $f$ no es $\mathbb{R}^4$ sino que es, por definición, la GENERADA por las imágenes de los vectores que generan $U_1$ tal como se ha escrito e independientemente de si la función es inyectiva, suprayectiva o biyectiva.




Cuidado que esa implicación es falsa. Sin más piensa en la aplicación $f:V\to W$ que verifique lo que has dicho y definida de manera que $f(v)=0$. La imagen de esa aplicación es el cero que está muy lejos de ser $W$. La implicación que estabas pensando creo que es la contraria: Si la función es sobreyectiva entonces se ha de dar esa relación entre dimensiones.
Con respecto a lo de que si el núcleo es el 0 entonces es inyectiva, se tiene que es un si y solo sí.

Saludos,

Muchas gracias por tu respuesta, ahora ya lo entiendo bien. La verdad es que no me había explicado muy bien.

[Richard R Richard]

Re: Duda aplicaciones lineales

$U_3=2(U_1)-1(U_2)$

El tercer vector es linealmente dependiente de los dos primeros.

El espacio del dominio es entonces

$\vec X=\alpha(1,0,1,0)+\beta(0,1,0,1)=(\alpha,\beta,\alpha,\beta)\quad \forall \alpha,\beta \in \mathbb R$

El espacio imagen sera entonces $f(\vec X)$
$f(x,y,z,t) ----> (x,y+z,2x,x+y+t)$

$\vec W= f(\vec X)=\begin{pmatrix}<br /> W_1 &= \alpha \\<br /> W_2 &= \alpha &+\beta\\<br /> W_3 &= 2\alpha \\<br /> W_4 &=\alpha &+2\beta<br /> \end{pmatrix}<br />$

de aquí se desprende que una base generadora de este espacio es

$W=<(1,1,2,1),(0,1,0,2)>$


aunque quizá ya llegue tarde a publicar la mecánica de la solución

Haciendo cuentas me sale que $f(U_1) = (1,1,2,1),(0,1,0,2),(2,1,4,0)$

se ve claramente que tambien el trecer vector es LD de los 2 primeros en el espacio solucion tambien ....


Saludos