Olimpiada Propuesto: Año nuevo matemático - Álgebra (1/4)

[angel relativamente]

Hola a todos. Durante este mes voy a proponer una serie de problemas de matemáticas, con el objetivo de divertir a esta comunidad intentando resolverlos, así como aprender un poco de matemáticas tanto para los curiosos como para aquellos que estén preparándose algún examen tipo olimpiada. Cada 6 días subiré la solución del problema abierto y abriré uno nuevo, completando un total de 4 hasta final de año. Todos los problemas pueden resolverse con conocimientos preuniversitarios y la solución propuesta es relativamente corta.
En todos los problemas dejaré una pista oculta para quien quiera usarla, y una segunda pasados 3 días si nadie lo ha sacado. Para no spoilear la solución, el foro cuenta con las etiquetas [solucion] [/solucion] entre las cuales la respuesta quedará oculta. Si usáis la pista que dejo, por favor decidlo. Sin más dilación, os dejo con el primer problema:


PROBLEMA 1 - ÁLGEBRA
Los coeficientes $a_0,a_1, \cdots , a_{2016}\in \mathbb{R}$,$a_0\neq 0$, del polinomio $P(x)=a_0 x^{2016} + a_1 x^{2015} + \cdots + a_{2015} x + a_{2016}$ verifican la igualdad $\dfrac{a_0}{2017} + \dfrac{a_2 }{2015} + \cdots + \dfrac {a_{2014}}{3} + a_{2016} =0$. Demostrar que el polinomio $P(x)$ tiene al menos dos raíces reales.


Pista 1:

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$\dst \int P(x)\dd x =\dfrac{a_0}{2017}x^{2017} + \dfrac{a_1 }{2016}x^{2016} + \cdots + a_{2016} x$

Suerte

Enlaces a otros problemas:
Año nuevo matemático - Cálculo (2/4)
Año nuevo matemático - Geometría (3/4)
Año nuevo matemático - Probabilidad (4/4)

[angel relativamente]

Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Álgebra (1/4)

Dejo una segunda pista por si alguien lo sigue pensando

Pista 2:

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Las raíces complejas (con parte imaginaria no nula) de un polinomio a coeficientes reales siempre aparecen en pares conjugados.

[angel relativamente]

Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Álgebra (1/4)

Pasados 6 días dejo la solución prometida. Aun así, el problema sigue abierto para que futuros lectores puedan intentarlo

SOLUCIÓN:

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Como las soluciones complejas (con parte imaginaria no nula) aparecen en pares conjugados y el grado del polinomio $P(x)$ es par, necesariamente el número de soluciones reales es par por lo que basta ver que tendrá al menos una para saber que tendrá al menos dos. Pero $\dst \int_{-1}^1P(x)\dd x = 2 \left(\dfrac{a_0}{2017} + \dfrac{a_2 }{2015} + \cdots + \dfrac {a_{2014}}{3} + a_{2016}\right)=0$ por la condición del enunciado. Eso implica que cambia de signo en $(-1,1)$, y como es continuo se deduce que tiene un cero en dicho intervalo. $\square$

[Penrose]

Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Álgebra (1/4)

Hola Ángel
Acabo de ver el problema y no he querido mirar la solución para ver si puedo conseguir sacarlo por mí mismo.
Lo que te quería preguntar es una duda sobre el método a utilizar y es que si es posible demostrar lo requerido mediante:

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el teorema de Bolzano

Hola a todos. Durante este mes voy a proponer una serie de problemas de matemáticas, con el objetivo de divertir a esta comunidad intentando resolverlos, así como aprender un poco de matemáticas tanto para los curiosos como para aquellos que estén preparándose algún examen tipo olimpiada. Cada 6 días subiré la solución del problema abierto y abriré uno nuevo, completando un total de 4 hasta final de año. Todos los problemas pueden resolverse con conocimientos preuniversitarios y la solución propuesta es relativamente corta.
En todos los problemas dejaré una pista oculta para quien quiera usarla, y una segunda pasados 3 días si nadie lo ha sacado. Para no spoilear la solución, el foro cuenta con las etiquetas [solucion] [/solucion] entre las cuales la respuesta quedará oculta. Si usáis la pista que dejo, por favor decidlo. Sin más dilación, os dejo con el primer problema:


PROBLEMA 1 - ÁLGEBRA
Los coeficientes $a_0,a_1, \cdots , a_{2016}\in \mathbb{R}$,$a_0\neq 0$, del polinomio $P(x)=a_0 x^{2016} + a_1 x^{2015} + \cdots + a_{2015} x + a_{2016}$ verifican la igualdad $\dfrac{a_0}{2017} + \dfrac{a_2 }{2015} + \cdots + \dfrac {a_{2014}}{3} + a_{2016} =0$. Demostrar que el polinomio $P(x)$ tiene al menos dos raíces reales.


Pista 1:

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$\dst \int P(x)\dd x =\dfrac{a_0}{2017}x^{2017} + \dfrac{a_1 }{2016}x^{2016} + \cdots + a_{2016} x$

Suerte

[angel relativamente]

Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Álgebra (1/4)

Hola Penrose, me alegra que lo pienses sin mirar la solución, es un problema bonito.

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Sí, el teorema de Bolzano se utiliza para resolver el problema. No obstante ten en cuenta que no tienes una función que puedas evaluar para analizar si hay cambio de signo, por lo que tendrás que jugar con la condición que verifican los coeficientes.

¡Suerte!

[Penrose]

Re: Propuesto: Año nuevo matemático - Álgebra (1/4)

Lo primero de todo darte las gracias a ti por plantear el problema y darme algo con lo que estrujarme el coco.
Sin embargo, veo que voy a tener que ponerme más al día con como trabajar con los coeficientes porque justamente hoy ha sido el primer día en el que me han explicado el método que te planteé (lo que ha sido positivo para conseguir pensar cómo resolver el problema, pero por otro lado voy a tener que trabajarlo algo más para poder intentar resolver el problema).
Saludos

Hola Penrose, me alegra que lo pienses sin mirar la solución, es un problema bonito.

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Sí, el teorema de Bolzano se utiliza para resolver el problema. No obstante ten en cuenta que no tienes una función que puedas evaluar para analizar si hay cambio de signo, por lo que tendrás que jugar con la condición que verifican los coeficientes.

¡Suerte!