1r ciclo Duda Variedades Lineales

[Forseti]

Buenas tardes.

En clase estamos dando variedades afines y debemos resolver problemas del espacio euclídeo sin utilizar conceptos inherentes al mismo como la ortogonalidad (si lo he entendido bien).
Por lo tanto, ejercicios que antes resolvía utilizando este concepto junto al producto escalar ordinario, ahora no sé muy bien como solucionarlos.

Mi duda surge en este tipo de ejercicios:

Discutir las posiciones relativas de la recta $r$ y el plano $\pi$:

$r: 2x+y=1; x-y-z=2$

$\pi : 3x+ay-z=b$

Pues ahora bien, resolviendo el primer sistema y dándole dos valores al parámetro que obtengo resulta que la recta r se puede expresar como:

$L_r : (1,-1,0) + <(-1,2,3)>$

En el caso del plano:

$L_\pi : (0,0,-b) + <(0,1,a),(1,0,3)>$

Ahora bien, en el caso de un plano y una recta existen las posibilidades de que se corten, de que sean paralelos o de que sean coincidentes.
Entonces, teniendo en cuenta que para que una variedad lineal sea paralela a otra se tiene que cumplir que el espacio vectorial dirección de una esté contenido en el espacio vectorial dirección del otro, si los vectores que forman ambas variedades lineales son linealmente independientes, entonces no son paralelos.
$\begin{pmatrix}<br /> -1 & 2 & 3 \\<br /> 0 & 1 & a \\<br /> 1 & 0 & 3 \\<br /> \end{pmatrix}$

Entonces, utilizando la reducción de Gauss llego a que si a==3, entonces son linealmente dependientes y por lo tanto, paralelas.
Ahora habría que analizar el punto origen de cada variedad para saber si son coincidentes o no.

¿Estaría bien hecho este ejercicio?


Muchas gracias de antemano.

[pilimafiqui]

Re: Duda Variedades Lineales

Si lo haces mediante rangos:
Con el determinante de los coeficientes el valor de "a" da cero.
Si a es distinto de cero al rang(A) = rang (A*) = nº de incógnitas = 3 , sistema compatible determinado, una única solución : recta y plano son secantes.
Si a=0 rang (A) =2 y para la matriz ampliada orlas con los términos independientes y obtienes b=3
Si a=0 y b=3 rang(A) = (rang A*)=2 menor que el nª de incógnitas sistema compatible indeterminado : recta contenida en el plano.
Si a=0 y b distinto de 3 , los rangos son distintos y el sistema es incompatible por lo que la recta y el plano son paralelos

- - - Actualizado - - -

2 1 0
1 -1 -1 Este es el determinante que da a=0
3 a -1

- - - Actualizado - - -

2 1 1
1 -1 2 Este es el determinante para orlar y del que deduces b=3
3 0 b

[Forseti]

Re: Duda Variedades Lineales

Si lo haces mediante rangos:
Con el determinante de los coeficientes el valor de "a" da cero.
Si a es distinto de cero al rang(A) = rang (A*) = nº de incógnitas = 3 , sistema compatible determinado, una única solución : recta y plano son secantes.
Si a=0 rang (A) =2 y para la matriz ampliada orlas con los términos independientes y obtienes b=3
Si a=0 y b=3 rang(A) = (rang A*)=2 menor que el nª de incógnitas sistema compatible indeterminado : recta contenida en el plano.
Si a=0 y b distinto de 3 , los rangos son distintos y el sistema es incompatible por lo que la recta y el plano son paralelos

- - - Actualizado - - -

2 1 0
1 -1 -1 Este es el determinante que da a=0
3 a -1

- - - Actualizado - - -

2 1 1
1 -1 2 Este es el determinante para orlar y del que deduces b=3
3 0 b

Muchas gracias por tu respuesta, ahora ya sé como se resuelve. ¿Me podrías decir por qué no sirve el procedimiento que planteé en el primer mensaje?

[pilimafiqui]

Re: Duda Variedades Lineales

Tienes mal calculado el vector de la recta,es (-1, 2, -3) o (1, -2, 3)
Asi la "a" ya te da cero pero el ejercicio estaría incompleto.