1r ciclo Base aplicación lineal

[CARLIN]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

a) Determinar para qué valores de $\alpha$ la siguiente aplicación es lineal.


f: ${R}_{2} \left[ x \right]$ $\to$ ${R}_{2} \left[ x \right]$


p(x) $\to$ f(p(x)) = p(x) +p'(x) + $\alpha$



b) Para $\alpha$=0 calcular la matriz asociada a f respecto de la base B = $\left\{ 1,1+x,1+{x}^{2} \right\}$ en el conjunto de partida y la base canónica Bc en el de llegada.

c) Calcular una base del Kerf y de Imf ¿Es f biyectiva?

d) ¿Existe algún polinomio p(x) $\epsilon$ ${R}_{2} \left[ x \right]$ cuya imagen mediante f sea el polinomio q(x) = 1+3x +${x}^{2}$?
En caso afirmativo calcularlo

e) Si fijamos Bc en el conjunto de partida ¿Qué base B* hay que tomar en el conjunto de llegada para que la matriz asociada a f sea : ${M}^{B*}$ = ${I}_{3}$ (M respecto de B* yBc, Bc como subínidice)

He logrado hacer los cuatro primeros apartados, pero estoy bloqueado en e), si me podrían dar una idea de cómo plantearlo, y cómo tiene que ser la base B*


Gracias