1r ciclo Diagonalización matrices

[CARLIN]

Hola, tengo el siguiente ejercicio de diagonalización:

Sea f: ${R}^{3}$ $\to$ [${R}^{3}$ la aplicación lineal que respecto de la base B={ (1,0,0) , (1,1,0), (1,1,1) } tiene como matriz asociada



A=$\begin{pmatrix}<br /> a & -a & 0 \\<br /> -a & a & 0 \\<br /> 0 & 0 & 2b<br /> \end{pmatrix}$

a) Estudiar para qué valores de a,b $\epsilon$ R es f diagonalizable

b) Para a=0 y b=1 hallar una matriz diagonal D asociada a f y una base de ${R}^{3}$ respecto de la cual la matriz de f sea D. Encontrar la matriz P tal que D = ${P}^{-1}.A . D$

c) Calcular ${A}^{50}$ para los valores de "a" y "b" del apartado anterior.

Tuve dificultades para plantearlo, acudí a la solución propuesta:

a) ${R}^{3}$ \to ${R}^{3}$ B= {(100), (110) , (111)}


Para hallar los autovalores ${p}_{A}$(x) = $\left\vert{} A - XI \right\vert{}$= $\left|<br /> \begin{matrix}<br /> a-x & -a & 0 \\ <br /> -a & a-x & 0 \\<br /> b & 0 & 2b-x<br /> \end{matrix}<br /> \right|$ = (2b-x) . $\left|<br /> \begin{matrix}<br /> a-x & -a \\ <br /> -a & a-x<br /> \end{matrix}<br /> \right|$ Este paso no lo entiendo, ¿qué criterio se usa para sacar como factor común (2b-x)? ¿por la propiedad de los determinantes por la que se podía sacar factor común a una columna o fila?

continuando = aquí se hace F1 + F2 ¿había que tener alguna precaución al anular filas en los determinantes? = (2b - x) .$\left|<br /> \begin{matrix}<br /> -x & -x \\ <br /> -a & a-x<br /> \end{matrix}<br /> \right|$

${p}_{A} = (2-b) . (-x) . \left|<br /> \begin{matrix}<br /> 1 & 1 \\ <br /> -a & a-x<br /> \end{matrix}<br /> \right|$ = (2b -x) . (-x) . [a-x+a] = (2b -x) . (-x) . (2a -x)

x = 2b x2 = 0 y x3 = 2a


Ahora para estudiar la multiplicidad:

Si x1=x2 $\to$ 2b=0 b=0

Si a = 0 y b=0 $\to$ $\lambda1$ = 0 o($\lambda$) = 3

Si a $\neq$ 0 y b=0 $\to$ $\lambda1$ = 0 o($\lambda1$)=2 $\lambda2$ = 2a o($\lambda1$) =1



en el segundo caso, si a diferente de 0 y b=0 en el segundo caso $\lambda2$ = 2a o($\lambda1$) =1 aquí la multiplicidad algebraica ¿no sería 2?

En el segundo caso
Si x1=x3 $\to$ 2b=2a b=a

b=a=0 es el anterior caso

No entiendo el caso Si a=b $\neq$ 0 , b y a siempre valerán 0 ¿no es así?

$\lambda1$ = 2b o($\lambda1$) =2 ¿no sería 1 la multiplicidad algebraica?
$\lambda2$ = 0 o($\lambda2$) =1 ¿lambda 2 no sería 2a?






Gracias y próspero año nuevo

[The Higgs Particle]

Re: Diagonalización matrices

Bueno, yo todavía no he dado diagonalización de matrices, pero te contesto a lo que creo que sí tengo claro.

Este paso no lo entiendo, ¿qué criterio se usa para sacar como factor común (2b-x)? ¿por la propiedad de los determinantes por la que se podía sacar factor común a una columna o fila?

Lo que ha hecho ha sido calcular el determinante por la matriz adjunta (o de cofactores, no sé con qué nombre la conocerás). Así, fijándome en la tercera columna:

$\left| \begin{matrix} a-x & -a & 0 \\ -a & a-x & 0 \\ b & 0 & 2b-x \end{matrix} \right| =\left( 0 \cdot \left( -1\right)^{4} \cdot \left| \begin{matrix} -a & a-x \\ b & 0 \end{matrix} \right| \right)$ $+ \left( 0 \cdot \left( -1\right)^5 \cdot \left| \begin{matrix} a-x & -a \\ b & 0 \end{matrix} \right| \right) + \left( (2b-x) \cdot \left( -1\right)^6 \cdot \left| \begin{matrix} a-x & -a \\ -a & a-x \end{matrix} \right| \right)=$ $(2b -x) \cdot \left| \begin{matrix} a-x & -a \\ -a & a-x \end{matrix} \right|$

continuando = aquí se hace F1 + F2 ¿había que tener alguna precaución al anular filas en los determinantes?

Puedes aplicar Gauss (sumar y restar filas y columnas y sus múltiplos entre sí) y el determinante es el mismo

No sé hasta qué punto habrás entrado en la definición de determinante. El determinante ($\phi$) es una aplicación bilineal alternada, $\phi : V \times V \to \mathbb{K}$ ($V \equiv$ espacio vectorial sobre el cuerpo $\mathbb{K}$) que cumple varias propiedades, como:

1) Si $v_i = v_j \to$ $\phi \left(v_1, v_2, ..., v_i, ..., v_j ..., v_n \right) = 0$ (es decir, que si se repite un vector - una línea en la matriz -, da cero)

O también, esta otra propiedad:

2) $\phi \left(v_1, ..., v_j + v_i, ..., v_n \right) = \phi \left(v_1,..., v_j,... v_n \right) + \phi \left(v_1,..., v_i,... v_n \right)$. Por ello, por ejemplo, tenemos:

$\phi \left( (1,0), (1,1)\right) = \phi \left( (1,0), (1,1)\right) - \phi \left( (1,0), (1,0) \right)$ $= \phi \left((1,0), (1,1) - (1,0) \right) = \phi \left( (1,0), (0,1)\right) = 1$

En el segundo paso he aplicado la propiedad (1), pues $\phi \left( (1,0), (1,0) \right) = 0$ y $x = x + 0$
En el tercer paso he aplicado la propiedad (2)

Y si te fijas, lo que he hecho en verdad ha sido restarle la primera fila a la segunda; es decir, aplicar Gauss.

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PD: Buen año nuevo a ti también

[CARLIN]

Re: Diagonalización matrices

Gracias The Higgs Particle, voy a intentar lo de la multiplicidad