1r ciclo Polinomio característico

[CARLIN]

Hola, tengo el siguiente ejercicio de diagonalización
Sea f un endomorfismo de R2 $\left[ x \right]$ definido en la base B={e1=1+x, e2=1+${x}^{2}$, e3= 1+x+{x}^{2} }

f(e1)= (α+1)e1 -αe2 + αe3
f(e2)= (α+β)e1 -αe2 + (α-1)e3
f(e3)=βe1 -e2

a) Calcular el polinomio característico de la matriz A asociada a f respecto de B comprobando que no dependen ni de $\alpha$ ni de $\beta$

Yo hice F2+F1 y luego resté columnas, C2-C3, me quedó $\left|<br /> \begin{matrix}<br /> \alpha+1 & \alpha & \beta \\<br /> 0 & 0 & 1 \\<br /> \alpha & \alpha -1 +x & -x<br /> \end{matrix}\right|$

¿Cómo continuo? no sé cómo anular la beta Gracias

[Alriga]

Re: Polinomio característico

CARLIN el determinante que has escrito no se ve, quita todos los [TEX] [/TEX] excepto el primero y el último, así:


[TEX]\left|
\begin{matrix}
\alpha +1 & \alpha & \beta \\
0 & 0 & 1 \\
\alpha & \alpha -1 +x & -x
\end{matrix}\right| [/TEX]


y se verá así:

$\left|<br /> \begin{matrix}<br /> \alpha +1 & \alpha & \beta \\<br /> 0 & 0 & 1 \\<br /> \alpha & \alpha -1 +x & -x<br /> \end{matrix}\right|$

Saludos

[CARLIN]

Re: Polinomio característico

Hola Alriga, ya quité todos los TEX de dentro, saludos.

[Alriga]

Re: Polinomio característico

Pero de todas maneras, lo que has hecho creo que está mal. La matriz de la aplicación lineal tiene por columnas las imágenes de los vectores de la base:

$A=\left (<br /> \begin{matrix}<br /> \alpha +1 & \alpha+\beta & \beta \\<br /> -\alpha & -\alpha & -1 \\<br /> \alpha & \alpha -1 & 0<br /> \end{matrix}\right )$

El polinomio característico $p_A(t)=det (A-t \cdot I)$ , por lo tanto:

$p_A(t)=\left |<br /> \begin{matrix}<br /> \alpha +1-t & \alpha+\beta & \beta \\<br /> -\alpha & -\alpha-t & -1 \\<br /> \alpha & \alpha -1 & -t<br /> \end{matrix}\right |$

Si desarrollas el determinante se obtiene $p_A(t)=-t^3+t^2+t-1$

Es decir, las $\alpha$ y las $\beta$ se han simplificado al hacer operaciones y no aparecen en la expresión final del polinomio, por eso el enunciado dice que " ... comprobando que no dependen ni de $\alpha$ ni de $\beta$ ... "

Saludos.