1r ciclo Producto escalar

[The Higgs Particle]

Me dan la forma bilineal:

$\psi \left( \left(\begin{array}{rrr} x_1 & x_2 & x_3 \end{array}\right), \left(\begin{array}{rrr} y_1 & y_2 & y_3 \end{array}\right)<br /> \right)$ $= \left(\begin{array}{rrr} x_1 & x_2 & x_3 \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} 1& 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{array}\right)<br />$ $\cdot \left(\begin{array}{rrr} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array}\right)$

que es un producto escalar, y me preguntan: "Encuentra una base de $\mathbb{R}^3$ con respecto a la cual la matriz $\psi$ sea diagonal"

Las matrices de un producto escalar son diagonales únicamente si la base es ortgonal (la identidad si es ortonormal), de forma que lo que yo había entendido del enunciado es que debía encontrar una base ortogonal respecto a la base canónica según dicho producto escalar(por Gram-Schmidt). Así, lo que obtengo es:

$B'=$ {$(1,0,0),(-1,1,0),(-0.5,0.5,1)$}

Pero cuando intento obtener la matriz de la forma bilineal en dicha base, $\left[ \psi \right]_{B'}$ no obtengo una matriz diagonal. Es decir, el resultado de esto no me sale diagonal:

$[\psi]_{B'} = M_{BB'}^T \cdot [\psi]_B \cdot M_{BB'}$

donde:

$M_{BB'}=(M_{B'B})^{-1} =\left(\begin{array}{rrr} 1& -1 & -0.5 \\ 0 & 1 & 0.5 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)^{-1}$


$[\psi]_B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{array}\right)$

[alexpglez]

Re: Producto escalar

Revisa las cuentas otra vez. Pista: el fallo está en el tercer vector.


Y una vez hecho esto, no hace falta calcular la matriz por medio de un cambio de base, porque teniendo los vectores sólo debes aplicar la definición de matriz de una forma bilineal.

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Pero cuando intento obtener la matriz de la forma bilineal en dicha base, $\left[ \psi \right]_{B'}$ no obtengo una matriz diagonal. Es decir, el resultado de esto no me sale diagonal:

$[\psi]_{B'} = M_{BB'}^T \cdot [\psi]_B \cdot M_{BB'}$

donde:

$M_{BB'}=(M_{B'B})^{-1} =\left(\begin{array}{rrr} 1& -1 & -0.5 \\ 0 & 1 & 0.5 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)^{-1}$


$[\psi]_B=\left(\begin{array}{rrr} 1& 1 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{array}\right)$

Creo que te estás equivocando con el cambio de base. Ten en cuenta que la matriz de cambio de base (sin invertir) ya va de B' a B. Y lo que quieres es que tu forma bilineal vaya coja los vectores en B', no en B. Es decir, que no debes hacer la inversa. No sé si me explico.

[Alriga]

Re: Producto escalar

La matriz que tienes es simétrica, mira a ver si puedes aplicar Diagonalización de matrices simétricas reales

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Producto escalar

Revisa las cuentas otra vez. Pista: el fallo está en el tercer vector.


Y una vez hecho esto, no hace falta calcular la matriz por medio de un cambio de base, porque teniendo los vectores sólo debes aplicar la definición de matriz de una forma bilineal

??? A mí lo que me han dicho es que como es bilineal se cumple que $\psi(\vec v + \vec u, \vec w) = \psi (\vec v, \vec w) + \psi (\vec u, \vec w)$; $\psi (\lambda \vec v, \vec w) = \lambda \psi(\vec v, \vec w)$ $\forall \lambda \in \mathbb{R}$, para ambas entradas. No me han contado nada de la matriz.

Creo que te estás equivocando con el cambio de base. Ten en cuenta que la matriz de cambio de base (sin invertir) ya va de B' a B. Y lo que quieres es que tu forma bilineal vaya coja los vectores en B', no en B. Es decir, que no debes hacer la inversa. No sé si me explico

Ah, sí, había copiado mal lo que tenía y se me ha acabado yendo la cabeza

La matriz que tienes es simétrica, mira a ver si puedes aplicar Diagonalización de matrices simétricas reales

El problema es que no me permiten utilizar autovalores aún :/

[alexpglez]

Re: Producto escalar

??? A mí lo que me han dicho es que como es bilineal se cumple que $\psi(\vec v + \vec u, \vec w) = \psi (\vec v, \vec w) + \psi (\vec u, \vec w)$; $\psi (\lambda \vec v, \vec w) = \lambda \psi(\vec v, \vec w)$ $\forall \lambda \in \mathbb{R}$, para ambas entradas. No me han contado nada de la matriz.

A lo que me refería es que:
$\phi(u,v)=\sum_{ij}u_i\phi(e_i,e_j)v_j=u^t A_{B'}(\phi) v$
Donde $A_{B'}(\phi)=(\phi(e_i,e_j))$ es la matriz de la forma bilineal. Lo que tú has hecho al utilizar Grand-Schmidt es imponer que $\phi(e_i,e_j)=0 \;\; i\not=j$, ahora sólo falta calcular los coeficientes $\phi(e_i,e_i)$ y ya tienes la matriz de la aplicación bilineal. Te ahorras así hacer unas cuantas cuentas innecesarias y costosas.

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En otras palabras. Lo que muestra esto es que hay un isomorfismo de espacios vectoriales más la aplicación producto (así definida) entre las matrices nxn y las aplicaciones bilineales de espacios vectoriales de dimensión n. Así como un isomorfismo sólo de la operación producto entre los productos escalares y las matrices que cumplen el criterio de Sylvester (o sea que representen productos escalares)