1r ciclo Proyección ortogonal

[The Higgs Particle]

Hola, tengo este ejercicio y no consigo que me den cosas coherentes

Sea $B = \left\{ \vec b_1, \vec b_2 \right\}$ una base ortonormal en $\mathbb{R}^2$, he de demostrar que la aplicación lineal es una proyección sobre la recta $ax+by=0$ para $\alpha = \dst \frac{b^2}{a^2+b^2}; \beta =\dst \frac{-ab}{a^2+b^2}$. Y su matriz asociada es:

$\left(\begin{array}{rrr} \alpha & \beta \\ \beta & 1- \alpha \end{array}\right)$

Llamo a la proyección de un vector $v= \lambda_1 \vec b_1 + \lambda_2 \vec b_2$ sobre la recta $r$ de la forma:

$\prod_{r} (v) = \sum_{i=1}^2 \left< v, b_i\right> b_i$

Como:

$v- \prod_r(v) \in r^c \to \left< v- \prod_r(v), b_i\right> = 0$

donde $r^c \equiv$ complemento ortogonal del subespacio generado por la recta $r<br />$

Aplicando las propiedades de bilinealidad, la expresión anterior es equivalente a:

$\left< v, b_i\right> = \left< \prod_r(v), b_i\right> \to \left< v,b_i\right> = \sum_{i=1}^2 \lambda_i \left< b_i, b_k\right>$

De forma que:

$\left(\begin{array}{rrr} \left< b_1,b_1\right> & \left< b_1,b_2\right> \\ \left< b_2,b_1\right> & \left< b_2,b_2\right> \end{array}\right)$ $\cdot \left(\begin{array}{rrr} \lambda_1 \\ \lambda_2 \end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{rrr} \left< v,b_1\right> \\ \left< v,b_2\right> \end{array}\right)$

Como es una base ortonormal:

$\left< b_1,b_2\right> = \left< b_2,b_1\right> = 0$

De forma que, imponiendo esta condición en la matriz que me habían dado, obtengo que $\beta = 0$


El vector base de la recta r es: $v_r=(1, -a/b)$, de forma que $\prod_r (v_r) = v_r$

Entonces:

$\left(\begin{array}{rrr} \left< b_1,b_1\right> & 0 \\ 0 & \left< b_2,b_2\right> \end{array}\right)$ $\cdot \left(\begin{array}{rrr} 1 \\ - \dst \frac{a}{b} \end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{rrr} \left< v,b_1\right> \\ \left< v,b_2\right> \end{array}\right)$

De donde:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[alexpglez]

Re: Proyección ortogonal

No veo clara tu duda.
Por otra parte, ¿te piden demostrar?, ¿te dan la recta?
Lo digo porque otra forma que puedes hacer es, coger una base con un vector en la misma dirección con la recta y hacer un cambio de base.

Otra opción es calcular autovalores, y ver que un autovector de autovalor 1 cumple que: $ax+by=0$

[The Higgs Particle]

Re: Proyección ortogonal

Nada, he encontrado la solución y básicamente hay que utilizar las aplicaciones autoadjuntas.
Es decir, en este caso demostrar que $A = A^2$, donde $A$ es la matriz que puse en el enunciado.