Secundaria Apilación cociente (topología)

[Jaime Rudas]

Estoy estudiando la Topología de Munkres y encuentro un ejemplo que no logro entender (§22):

Definición. Sean $X$ y $Y$ espacios topológicos. Sea $p : X \to Y$ una aplicación sobreyectiva. La aplicación $p$ es una aplicación cociente siempre que un subconjunto $U$ de $Y$ es abierto en $Y$ si y solo si $p^{-1}(U)$ es abierto en $X$.
[...]
Ejemplo 1. Sea $X$ el subespacio $[0, 1] \bigcup [2, 3]$ de $\mathbb{R}$, y $Y$ el subespacio $[0, 2]$ de $\mathbb{R}$. La aplicación $p : X \to Y$ definida por

$p(x)=\begin{cases} x & \text{ si } x\in [0, 1] \\<br /> x-1 & \text{ si } x \in [2, 3]\end{cases}$

se ve inmediatamente que es sobreyectiva, continua y cerrada. Por tanto, es una aplicación cociente. Sin embargo, no es una aplicación abierta ya que la imagen del conjunto abierto $[0, 1]$ de $X$ no es abierta en $Y$.

Obsérvese además que si $A$ es el subespacio $[0, 1) \bigcup [2, 3]$ de $X$; entonces la aplicación $q : A \to Y$ , obtenida al restringir $p$, es continua y sobreyectiva, pero no es una aplicación cociente. en efecto, el conjunto $[2, 3]$ es abierto en $A$ y saturado con respecto a $q$, pero su imagen no es abierta en $Y$.

Mi duda es la siguiente: según yo lo entiendo, lo último que se dice de $q$ se aplica también a $p$; o sea, el conjunto $[2, 3]$ es abierto en $X$ y saturado con respecto a $p$, pero su imagen no es abierta en $Y$, por lo que no entiendo por qué esto hace que $q$ no sea una aplicación cociente, pero permite que $p$ sí lo sea.

Por otra parte, ateniéndonos a la definición de aplicación cociente, no encuentro que la preimagen $q^{-1}(U)$ de un subconjunto abierto $U$ de $Y$ no sea abierta en $A$, por lo que no veo por qué $q$ no es una aplicación cociente.