1r ciclo Demostración mínimos cuadrados

[The Higgs Particle]

Sean $A \in M_{n \times m}(\mathbb{R}), b \in \mathbb{R}^n, x=(x_1,...,x_m)$

Me piden demostrar:

1. $Ker(A^TA)=Ker(A)$, donde $A$ representa la matriz de un ap. lineal y $A^T$ la de su adjunta.
2. Usando la ecuación para dimensiones, demuestra que se da $A^TAx = A^Tb \leftrightarrow$ son linealmente independientes las columnas de la matriz $A$

La primera parte del punto 2 me parece bastante clara:

Si $Ker(A^TA) = Ker(A) \to dim(Ker(A^TA)) = dim(ker(A))$, con $dim(\mathbb{R}^n) = dim(Ker(A)) + dim(Img(A))$, donde $Img(A) = <Columnas(A)>$), pero no sé cómo hacer el resto

[alexpglez]

Re: Demostración mínimos cuadrados

Sobre el 1, por definición de núcleo $Ker(A)=\{x \in R^m | Ax=0 \}$, sólo debes tratar de ver que:

$$\forall x \in R^m (Ax=0 \leftrightarrow A^T Ax=0)$$

La implicación hacia la derecha se ve fácilmente, y para la otra como pista usar que:

$$\forall y \in R^n (y^Ty=0 \rightarrow y=0)$$

Sobre el 2, no entiendo exactamente lo que quieres preguntar, ¿qué son x y b... cualesquiera?

[The Higgs Particle]

Re: Demostración mínimos cuadrados

Sobre el 2, no entiendo exactamente lo que quieres preguntar, ¿qué son x y b... cualesquiera?

Sean $A \in M_{n \times m}(\mathbb{R}), b \in \mathbb{R}^n, x=(x_1,...,x_m)$

Y lo que me piden demostrar es que se cumple la igualdad (la de mínimos cuadrados, a saber: $A^TAx=A^Tb$), únicamente si las columnas de la matriz A son l. independientes.

[alexpglez]

Re: Demostración mínimos cuadrados

Edito mi anterior mensaje, pues me confundí y escribí:

$$\forall y \in R^n y^Ty=0$$

Cuando estaba pensando en:

$$\forall y \in R^n (y^Ty=0 \rightarrow y=0)$$

Saludos.