1r ciclo Solución particular sistemas de ecuaciones diferenciales lineales no homogeneso forma canónica de Jordan

[rmhsik]

Buenos días,

tengo una duda relacionada, como el título comenta, con la solución particular de un sistema de ecuaciones diferenciales resolviendolo haciendo uso de la forma canónica de Jordan. Pongamonos en situación. Supongamos que tenemos el sistema de ecuaciones difrenciales:

$X'(t)=AX(t) + F(t)$

Donde A es la matriz de coeficientes constante y F(t) la matriz correspondiente a la parte que hace que el sistema no sea homogéneo. Supongamos que la matriz de los coeficientes no es diagonalizable pero si que podemos calcular su matriz de Jordan asociada, por tanto tenemos $J={B}^{-1 } A B$ Donde B es la matriz de cambio de base que supondremos conocida.

Hasta donde tengo entendido, y por la teoría que poseeo, realizaremos la siguiente transformación:

$B^{-1}X'(t)=JB^{-1}X(t)+B^{-1}F(t)$

Y realizando los siguientes cambios de variable

$Y(t)=B^{-1}X(t)$
$G(t)=B^{-1}F(t)$

Obtenemos el siguiente sistema

$Y'(t)=JY(t)+G(t)$

Y es aquí donde viene mi duda. La solución homogenea la pude calcular sin ningun problema, y por tanto tengo X(t) en el sistema homogéneo, ¿entonces sería la misma X(t) que se ha aplicado para calcular Y(t) y por tanto solo tendría que hacer el producto de ambas matrices, o es el producto de las incognitas?

Y segundo, por la teoría que tengo, gracias a la estructura de la forma canónica de Jordan se puede obtener una solución particular del sistema original mediante la siguiente expresión:

$X(t)=BY(t)$

Pero si realizamos dicha operación volvemos a la misma situación de partida desaciendo el cambio de variable y quedandonos con las mismas incognitas no?


Un saludo y espero que alguien me pueda hechar una mano