Secundaria Problema de parábola

[Alofre]

[FONT=Roboto]Hola, agradecería ayuda para este problema.[/FONT]
[FONT=Roboto]Tenemos una parábola f(x)= x^2 con dos rectas tangentes, t y t´, en los puntos, respectivamente A y B. Las rectas tangentes se cortan en un punto C. La mediana del triángulo ABC correspondiente a C tiene longintud m. Determinar el área de ABC en función de m.[/FONT]
[FONT=Roboto]Yo he llegado a la conclusión de que A(a, a^2), B(b, b^2), así que, mediante derivación (para la pendiente)podemos hallar que las ec. de la recta son respectivamente y= 2ax-a^2; y=2bx-b^2. Sin embargo, no sé seguir y agradecería que alguien me lo explicase. Gracias![/FONT]

[Alriga]

Re: Problema de parábola

Hola Alofre, resolví este problema en su día, pero como había mucho LaTeX que picar y un dibujo que hacer, lo dejé para el fin de semana. Pero se me traspapeló el papel con la solución y me olvidé. Hoy por casualidad he encontrado el papel, espero que aunque tarde, la respuesta aún pueda tener alguna utilidad.

Las coordenada de los puntos A y B de la parábola son:

$A: (x_A, \ x_A^2)$

$B: (x_B, \ x_B^2)$

El punto C por estar en las dos rectas tangentes de pendientes $2x_A$ y $2x_B$ cumplirá estas 2 ecuaciones:

$$y_C-x_A^2=2 x_A(x_C-x_A)$$

$$y_C-x_B^2=2 x_B(x_C-x_B)$$

Combinando ambas, (1) y (2):

$x_A^2+2 x_A(x_C-x_A)=x_B^2+2 x_B(x_C-x_B)$

Simplificando:

$$x_C=\dfrac{x_A+x_B}2$$

Esto es importante: acabamos de demostrar que la abcisa del punto C está a medio camino entre las de A y B. Como el punto M de la mediana también estará a medio camino entre A y B por definición, el punto M está situado en la vertical del punto C y el dibujo queda así, en rojo la parábola y en azul la mediana $\overline{CM}=m$



Sustituyendo (3) en (1) y operando se obtiene la ordenada del punto C:

$y_C=x_A \cdot x_B$

La abcisa y la ordenada del punto M, por definición:

$x_M=\dfrac{x_A+x_B}2$

$y_M=\dfrac{y_A+y_B}2=\dfrac{x_A^2+x_B^2}2$

Por ser vertical, la mediana cumple:

$m=y_M-y_C$

Sustituyendo:

$m=\dfrac{x_A^2+x_B^2}2-x_A \cdot x_B$

Resolviendo la ecuación de 2º grado:

$x_B=x_A \pm \sqrt{2 m}$

Sin pérdida de generalidad, si estamos en la rama derecha de la parábola y elegimos como punto A el de menor abcisa:

$x_B=x_A + \sqrt{2 m}$

Nos piden hallar el área del triángulo ABC. Aplicaremos la propiedad de que la mediana divide un triangulo en 2 triángulos de áreas iguales: hallaremos el área del triángulo AMC y multiplicaremos por 2. Usaremos la Fórmula de Herón. Las coordenadas de los tres puntos

$A: (x_A, \ x_A^2)$

$C: (\dfrac{x_A+x_B}2, \ x_A x_B)=(\dfrac{2x_A+\sqrt{2m}}2, \ x_A (x_A+\sqrt{2m})$

$M: (\dfrac{x_A+x_B}2, \ x_A x_B+m)=(\dfrac{2x_A+\sqrt{2m}}2, \ x_A (x_A+\sqrt{2m})+m)$

La distancia $\overline{CM}=m$, hay que calcular las otras 2 distancias $\overline{AC}=d_{AC}$ y $\overline{AM}=d_{AM}$ aplicando la definición de distancia = módulo del vector diferencia. Si no me equivoco en las operaciones me sale:

$d_{AC}=\sqrt{\dfrac 1 2 m (4 x_A^2+1)}$

$d_{AM}=\sqrt{2 m \ x_A^2+2 m \sqrt{2 m} \ x_A + m^2 + \dfrac m 2}$

Calculamos el semiperímetro del triángulo AMC:

$s=\dfrac{d_{AC}+m+d_{AM}}2$

Y el área del triángulo ABC en función de m, que es lo que pide el enunciado es:

$S_{ABC} = 2 \sqrt{s(s-m)(s-d_{AC})(s-d_{AM})}$

Solo queda el trabajo mecánico de sustituir $s, \ d_{AC} \ y \ d_{AM}$ por las expresiones que hemos hallado en función de m y de $x_A$

No sé si hay algún camino más fácil, a mí no se me ha ocurrido.

Saludos.

[Alofre]

Re: Problema de parábola

Estimado Alriga personalmente ya se me había olvidado la existencia de este problema que encontré en un libro de retos de matemáticas, puesto que todo el mundo a quien pregunté no tenían ni idea de como resolverlo... creo que es hora de que vuelva a verlo!!
Muchísimas gracias por todo!!