1r ciclo recta paralela a un plano

[Violetta]

Holaa, ando estudiando álgebra vectorial del Apostol y tengo una consulta respecto a un ejercicio.
En el ejercicio se da una recta en su forma vectorial y se pide averiguar si es o no paralela a unos planos dados (en ecuaciones vectoriales paramétricas y en ecuaciones cartesianas).
El problema es que en lo que va del libro todavía no se vio producto vectorial, ni vector normal a un plano (justo en la siguiente sección se ve producto vectorial). Lo único relevante para resolver este problema que vi en el libro hasta ahora es envolvente lineal, que creo que es sinónimo de combinación lineal, que una vez hojeé, por favor corregidme.. En fin, la recta es paralela si su vector director pertenece a la envolvente de los vectores directores del plano, pero no sé como demostrar eso
¿habrá otra forma de saber si son paralelos sin ayuda del vector normal y el producto vectorial, que veré en las secciones siguientes?

[The Higgs Particle]

Re: recta paralela a un plano

Sea $v_r$ el vector director de la recta y $v_1, v_2$ los vectores que generan el plano.

- Producto escalar. El vector de la recta debe formar 0º con ambos vectores de la base del plano

- Combinación lineal. El vector director de la recta debe ser combinación lineal de la base del plano. Otra forma de verlo sería que cumpla las ecuaciones del plano

[Alriga]

Re: recta paralela a un plano

1) Una forma de resolverlo. Tienes la ecuación de la recta, luego conoces su vector director $\vec v_r$

Tienes la ecuación del plano, luego puedes elegir un punto arbitrario cualquiera en él $P_p$

Construye otra recta que pase por el punto del plano $P_p$ y cuyo vector director sea $\vec v_r$

Por la forma en que la has construido, esta nueva recta es necesariamente paralela a la primera, ya que ambas tienen el mismo vector director.

Elije cualquier punto arbitrario de la 2ª recta diferente de $P_p$, lo llamamos $P_2$

Mira si $P_2$ está en el plano, (cumple la ecuación del plano) Si $P_2$ está en el plano, como $P_p$ también lo está, 2 puntos de la segunda recta están en el plano, lo que implica que todos los puntos de la 2ª recta están en el plano, por lo tanto has demostrado que la 1ª recta es paralela al plano sin utilizar productos vectoriales.

2) Otra forma, es simplemente plantear el sistema de ecuaciones formado por las 2 ecuaciones de la recta:

$$\dfrac{x-x_0}{v_x}=\dfrac{y-y_0}{v_y}$$

$$\dfrac{x-x_0}{v_x}=\dfrac{z-z_0}{v_z}$$

Y la ecuación del plano:

$$Ax+By+Cz+D=0$$

Si el sistema de las 3 ecuaciones (1), (2), (3) con 3 incógnitas x, y, z tiene

* solución única, (sistema compatible determinado), la recta corta al plano en el punto solución,

* si el sistema es compatible pero indeterminado, entonces la recta está contenida en el plano

* y finalmente, si el sistema es incompatible, (no tiene ninguna solución), es que la recta es paralela al plano.

Saludos.

[Fortuna]

Re: recta paralela a un plano

La solución 2 es muy elegante. Es como cuando se resuelven problemas cinemáticos aplicando la conservación de la energía.