Otras carreras ¿Por qué 2 pi para el ángulo de una circunferencia completa?

[danielandresbru]

Hola, he estado un buen tiempo con esta duda en la cabeza, y es: Por que la base de ángulos se toma $2 \pi$?
Osea en un principio se que se podría tomar cualquier base de ángulos, como 360, $2\pi$, o un k genérico (que representa los grados que tiene una circunferencia completa).
Ahora mi pregunta es por qué por ejemplo cuando se va a hacer una integral se toma $2 \pi$, quisiera saber si es que hay alguna demostración, o es que da igual elegir una base de grados u otra, ya que al final se terminaría yendo.

Lo digo por ejemplo para la integral de x*senx

Gracias de antemano

[angel relativamente]

Re: Por que 2pi?

Hola. Los radianes son la unidad natural de los ángulos ya que la circunferencia unidad tiene por perímetro $2\pi$. Así, un arco de ángulo $\theta$ en una circunferencia de radio $r$ tendrá por longitud $\theta r$, solo si $\theta$ se mide en radianes. Es por eso que se usa como el argumento natural de las funciones trigonométricas, y se define el periodo de estas como múltiplos de $\pi$.

[danielandresbru]

Re: Por que 2pi?

Hola angel, yo digo por ejemplo
La longitud de una circunferencia es $L=2\pi R$ (por definición), por lo que la longitud de un trozo de la circunferencia sería $l=2 \pi \chi R$. Siendo $\chi$ la fracción de la circunferencia, es decir si es completa $\chi=1$, si es la mitad $\chi=\frac 12$ ...
A la magnitud $2\pi \chi$ le llamaré $\theta$. $\theta= 2 \pi \chi$
De esta forma $l= \theta R$

Ahora por definición el coseno del ángulo de define como $\cos( \alpha) = \displaystyle \frac {ca}{H}$. Siendo $ca$ el careto adyacente de un triángulo rectángulo cualquiera, y $H$ su hipotenusa

Ahora en principio yo supongo que $\alpha=k \chi$, y supongo que en principio $k$ no la conozco. (Puede ser que una circunferencia completa valiese 1000, siendo media circunferencia 500).

Ahora mi pregunta es cómo se sabe que $k=2\pi$, o lo que es lo mismo $\theta=\alpha$.

Muchas gracias de antemano

[Alriga]

Re: Por que 2pi?

La medida de un ángulo no tiene unidades. La medida de un ángulo es un número real. Para verlo solo es necesario acudir a la definición operativa de la medida del ángulo. Su medida es: cualquiera de los arcos del ángulo dividido por su respectivo radio.

$angulo=\dfrac{arco}{radio}$

Longitud/longitud, por lo tanto sin dimensiones. A partir de aquí es lógico preguntarse ¿Cuánto mide el ángulo de una circunferencia completa? Nada más fácil:

$Radio=R$

$Arco=2 \pi R$

$Angulo \ circunferencia \ completa =\dfrac{2 \pi R}{R}=2 \pi$

La medida del ángulo es adimensional, es decir, simplemente es un Número Real. Como existía una milenaria tradición de medir los ángulos en determinadas unidades a base de dividir la circunferencia completa en un número arbitrario de partes:

• grados sexagesimales, circunferencia dividida en 360 partes, “deg”
• e incluso grados centesimales, circunferencia dividida en 400 partes, mira la calculadora del Windows y verás que aun la puedes poner en "grad" o “gradianes”

Pues al ángulo de una circunferencia completa, se le define que sus $2 \pi$ unidades en números reales son $2 \pi$ radianes, con lo cual hemos inventado una "unidad", que en realidad es superflua.

Así cuando decimos que un ángulo es de 0.707 radianes, en realidad estamos gastando más saliva de la cuenta, pues podríamos limitarnos a decir que es un ángulo de 0.707 y punto final, no debería ser necesario añadir ninguna unidad.

Saludos.

[danielandresbru]

Re: Por que 2pi?

Hola Alriga, muchas gracias creo que ya lo entendí.

Osea $\displaystyle \frac {co}{H}$ de cualquier triángulo rectángulo es una constante $\xi$, dicha constante es función del ángulo $\theta$ (que es otra constante que representa la relación entre el radio y la longitud del arco que forman dos líneas, en otras palabras miden la inclinación entre las dos rectas)
Por tanto [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] dicha función $\xi (\theta)$ se le conoce por definición coseno.

Se podría ser el siguiente análisis dimensional
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Con lo que se obtiene $\displaystyle \frac{co}{H} = f_1(\theta)$
Y luego ya si quiero multiplico lo de dentro por un factor como $\displaystyle \frac {co}{H} = f_2( \frac {360}{2 \pi} \theta )$.
Pero en este caso $f_2$ ya no sería el coseno sino $f_2=cos( \displaystyle \frac{2 \pi}{360} x)$