Otras carreras Multiplicidad de Autovalores

[danielandresbru]

Hola, estaba tratando de ver porqué

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Esto era porque estaba tratando de entender porque cuando hay una solución doble al polinomio característico ( $p( \lambda)$ ) esta solución depende de dos parámetros.

He estado probando con la definición de rango ( y viendo el rango con determinantes ) pero no llego nada. Lo que sucede es que el termino de la multiplicidad no se por donde meterlo. Quisiera saber si sabéis porque ocurre lo de la formula del principio.

Muchas Gracias de antemano

[The Higgs Particle]

Re: Multiplicidad de Autovalores

Esto era porque estaba tratando de entender porque cuando hay una solución doble al polinomio característico ( $p( \lambda)$ ) esta solución depende de dos parámetros

??? Ni siquiera estás especificando el grado del polinomio característico, $p(\lambda)$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

(...)

He estado probando con la definición de rango ( y viendo el rango con determinantes ) pero no llego nada. Lo que sucede es que el termino de la multiplicidad no se por donde meterlo. Quisiera saber si sabéis porque ocurre lo de la formula del principio

Para empezar: el número de veces que sale un autovalor concreto es lo que se denomina multiplicidad algebraica. Por otra parte, el número de variables independientes - o, visto de otra forma, el número de vectores base - que resultan de buscar autovectores asociado a un autovalor concreto es lo que se denomina multiplicidad geométrica.


Ejemplo: Sea $\mathbb{R}^3$. Supongamos que hemos obtenido $p(\lambda) = (\lambda - 1)^2 (\lambda + 2)$; en este caso, tenemos que el autovalor $\lambda_1=1$ tiene multiplicidad algebraica 2, mientras que la multiplicidad algebraica de $\lambda_2 = -2$ es uno.

Hemos ahora de examinar la dimensión del núcleo asociado a $A -\lambda_i I$.
Cuando buscamos autovectores, acabamos haciendo esto:

$\left( A - \lambda_i \right) V_i = 0 \to Ker(A-\lambda_i I)$

Imaginemos que, para $\lambda_1=1$ obtenemos $x+ y = 0$; para $\lambda_2=-2$, tenemos $x+y+z = 0; x- y=2$. Así, la ecuación que describe al conjunto de autovectores del primer autovalor dejan dos variables libres: $dim\left( Ker \left( A - \lambda_1 I \right) \right) = 2$, además de cumplirse que $dim\left( Ker\left( A-\lambda_2 I \right) \right) = 1$. Es decir, en este caso las multiplicidades geométricas coinciden con las algebraicas de los autovalores asociados. Esto implica que en la base de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] formada por los tres autovectores (dos para $\lambda_1$; uno para $\lambda_2$) - el autoespacio - la matriz A es diagonalizable.



Entonces, para las matrices diagonalizables se cumple que $dim(Ker(A-\lambda_i I)) =$ multiplicidad algebraica $p(\lambda)$. Así, tenemos:

$rango(A-\lambda_i I) + dim(Ker \left( A-\lambda_i I \right)) = dim(\mathbb{R})^n$.

En álgebra, además, se define el rango de una matriz como la dimensión de la imagen de una aplicación lineal - que están representadas por matrices, como puede ser $\left( A - \lambda_i I \right)$.

Si llamamos $T$ a la aplicación lineal $T:V \to V$, $V \subset \mathbb{R}^3$, que hace, para cualquier $v,v' \in V$

$\left( A-\lambda_i I \right) \cdot v = v'<br />$

[Error LaTeX: Fórmula vacía]

Llegamos a:

$dim(Img(T)) + dim(Ker(T)) = dim(V)$

Que es un resultado más que conocido, como puedes ver aquí.

[danielandresbru]

Re: Multiplicidad de Autovalores

Muchas gracias The Higgs Particle, ya estoy viendo cuál es mi error (pensaba que cualquier matriz invertible es diagonalizable pero no es así)