Otras carreras Determinante volumen entre vectores en R^n

[danielandresbru]

Hola hace tiempo pregunté si había una demostración de que el determinante representa el volumen entre los vectores pero en el libro que me recomendasteis salia la demostración para $\Re^3$ y quería saber si se podía generalizar, si hay una demostración de que el determinante de n vectores de $\Re^n$ da el n-volumen del paralelogramo formado por esos vectores.



Al final llegué a una "demostración" de que: $abs( \Big| \vec{v_1}| \vec{v_2} | \cdot \cdot \cdot | \vec{v_n} \Big| )=V^n ( \vec{v_1}, \vec{v_2} , \cdot \cdot \cdot , \vec{v_n})$. Donde uso la notación V^n para representar el hipervolumen de n dimensiones.


Basicamente lo que hice es al darme cuenta que los Volumenes $V^n_1( \vec{v_1}, \vec{v_2} , \cdot \cdot \cdot , \vec{v_n})$ y $V^n_2( \vec{v_1}, \vec{v_2} , \cdot \cdot \cdot , \vec{u_n})$ son iguales si se cumple $\vec{u_n}= c_1 \vec{v_1}+c_2 \vec{v_2} + \cdot \cdot \cdot + c_{n-1}\vec{v_{n-1}}$. Y al saber que el determinante no cambia si se le suma a una columna multiplos de otra (y que si se intercambia de columnas el determinante cambia de signo, operacion que obviamente tampoco altera al volumen). Al aplicar varias de estas operaciones obtendré cambiar el determinante de la matriz inicial por uno de una matriz diagonal (variando cuando mucho la multiplicación por un signo menos, ya que a priori no sabemos si se tuvo que intercambiar filas para esto)

$\Big| \vec{v_1}| \vec{v_2} | \cdot \cdot \cdot | \vec{v_n} = \pm \Big| D \Big|$

Ahora este determinante será determinante $\pm \Big| D \Big| =\displaystyle \prod_{k=1}^n a_{kk}$ (donde $a_kk$ no tiene por que ser mayor mayor que cero, puede ser 0 o negativo)

Ahora el término $\displaystyle \prod_{k=1}^n a_{kk}$ representa $\pm V^n (D)$ mas/menos el volumen de los vectores de la matriz diagonal (el +/- es por que no se sabe si el resultado será positivo o negativo) (y representan el volumen de los vectores de D, ya que tos estos son ortogonales)

Tenemos que $V^n (D) = V^n ( \vec{v_1}, \vec{v_2} , \cdot \cdot \cdot , \vec{v_n})$ por lo de que el volumen no cambia al aplicarle las operaciones

Entonces $V^n ( \vec{v_1}, \vec{v_2} , \cdot \cdot \cdot , \vec{v_n})=V^n (D)=abs( \Big| \vec{v_1}| \vec{v_2} | \cdot \cdot \cdot | \vec{v_n} \Big| )$


Aunque es una demostración no rigurosa si es intuitiva, pero lo que no me termina de convencer es la parte de $V^n(\vec{v_1}, \vec{v_2} , \cdot \cdot \cdot , \vec{v_n}=V^n( \vec{v_1}, \vec{v_2} , \cdot \cdot \cdot , \vec{u_n})$, que creo que debería ser mas cuidadoso con eso, ya que eso lo vi fue por un poco de intuición


No se si sabrías como demostrar esto con un poco mas de cuidado.

Muchas gracias de antemano