Otras carreras Duda de Algebra/ Cálculo

[danielandresbru]

Hola, estaba viendo la demostración del criterio del determinante del hessiano para hallar los maximos y minimos de una función f: R^n ----[FONT=arial]> R. [/FONT]Aquí de donde lo saco http://cms.dm.uba.ar/Members/glaroton/NotasAI/Parte_5_Taylor_extremos.pdf (página 12)

[FONT=arial]
[/FONT] Y es que segundo lo que veo en la demostración se diagonaliza la matriz hessiana H=PDP^-1
y demuestran que los signos que deben tener los menores principales de D para que la función tenga una máximo o un mínimo.

Pero mi pregunta es: "Porque tambien se cumple esta regla para los menores principales de H, es decir, por que $signo (|H_{i}|)=signo(|D_i|)$", donde D_i representa la submatriz que contiene las primeras i filas e i columnas de D (igualmente con h)

Ya que no termine de ver clara la demostración sin esto

Gracias de antemano

[The Higgs Particle]

Re: Duda de Algebra/ Cálculo

Pues a ver, si hemos diagonalizado la matriz hessiana, $H$, en otra más simple, $D$, tenemos la igualdad:

$H = PDP^{-1}$

Si ahora hacemos el determinante en ambos lados de la igualdad:

$\left\vert{} H \right\vert{} = \left\vert{} PDP^{-1} \right\vert{} = \left\vert{} P \right\vert{} \left\vert{} D \right\vert{} \left\vert{} P^{-1} \right\vert{}$

Y como los determinantes son números reales y éstos cumplen la propiedad conmutativa, tenemos:

$\left\vert{} H \right\vert{} = \left\vert{} D \right\vert{} \left( \left\vert{} P \right\vert{} \left\{ P^{-1} \right\} \right) = \left\vert{} D \right\vert{}$

Por ello, se cumple lo del signo.


Y en el caso de los menores, especulo un poco. Cuando coges un menor estás eliminando el correspondiente a una incógnita entera. Como es una incógnida diferentes a las demás, cuando calcules la diagonalización en lo único que va a afectar es que necesitarás una base de autovectores de una dimensión menor que, como ves, no alteraría el razonamiento anterior.

[danielandresbru]

Re: Duda de Algebra/ Cálculo

Hola The Higgs Particle, por lo que te entiendo dices que un menor es quitarle una ecucion entonces por tanto al diagonalizar la matriz tendra los mismos primeros autovalores que la matriz principal, pero si por ejemplo cojo $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 5 \end{bmatrix}$ tiene como autovalores $\lambda_1=0$, $\displaystyle \lambda_2 = 5+3 \sqrt 5$, y $\displaystyle \lambda_3 = 5-3 \sqrt 5$

En cambio si tomamos el menor principal $A_2=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ sus autovalores son $\lambda_1=0$ y $\lambda_2=5$

Así que no se cumple

Lo que se me estaba ocurriendo era demostrar por inducción que se cumple
$signo( |H_{n-k}|)=signo( |D_{n-k}|)$ para k=0,1,...,n-1, ya que se cumple para k=0
Pero aún así no llego a ningún lado

Gracias de todas formas

[The Higgs Particle]

Re: Duda de Algebra/ Cálculo

Así que no se cumple

¿Qué no se cumple? En ambos casos el determinante es 0

[danielandresbru]

Re: Duda de Algebra/ Cálculo

Tienes razón me confundí, pero en este otro ejemplo no se cumple
$H=\begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 &3&2 \\ 1&2&3 \end{bmatrix}$

$|H|=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = |D|= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & {\frac{7+\sqrt{17}}{2}} &0 \\ 0 & 0 & { \frac{7-\sqrt{17}}2} \end{vmatrix}$

Ahora no se cumple la igualdad para los segundos menores

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Es que no tendría sentido que fueran iguales ya que sería muy ambiguo (ya que en la matriz diagonal se pueden colocar los autovalores en un distinto orden)

[The Higgs Particle]

Re: Duda de Algebra/ Cálculo

¿Cómo que no se cumple?

$|H_2|=\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 5$

Además, los autovalores de ese menor (¡¡que no son los mismos de la matriz entera!!) son $\lambda_1 =\dst \frac{5+ \sqrt{5}}{2}; \lambda_2 = \frac{5- \sqrt{5}}{2}$, de forma que:

$\left\vert{} D \right\vert{} = \begin{vmatrix} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{vmatrix} = 5$

- - - Actualizado - - -

Y no hace falta seguir con ejemplos concretos; la cosa es que lo vimos antes aquí

Si estás cogiendo una matriz - que bien puede ser un menor -, y estás diagonalizándola respecto a una base de autovalores (que, en el caso de coger un menor, estamos hablando de un autoespacio diferente, de dimensión menor), lo que estás haciendo es escribir dicha matriz en términos de otra:

$H_i = P_i D_i P^{-1}_i \to \left\vert{} H_i \right\vert{} = \left\vert{} D_i \right\vert{}$

Es que no tendría sentido que fueran iguales ya que sería muy ambiguo (ya que en la matriz diagonal se pueden colocar los autovalores en un distinto orden)

No entiendo por qué dices que no tiene sentido y que es ambiguo. Lo que son iguales son los determinantes. Y el orden de los autovalores en verdad depende del orden que has cogido de la base de autovectores (lo cual, claramente, se refleja al construir las matrices de cambio de base, $P$). Esto es muy importante también, por ejemplo, al construir matrices de Jordan

[danielandresbru]

Re: Duda de Algebra/ Cálculo

The Higgs Particle no entiendo porque luego coges los autovalores de $D_i$ ($\lambda_j (Di)$).

Por lo que entiendo del teorema, es que (por ejemplo) si todos los autovalores de $H$ , $\lambda_j(H)$ son positivos: $\lambda_j(H)>0 \\\ (j=1,2, \cdot \cdot \cdot n)$. Entonces se sabe que la función tiene un mínimo.

Ahora si cada $\lambda_j>0$ entonces se cumple que todos los $|D_i |>0 \ \ (i=1,2, \cdot \cdot \cdot n)$ (eso es lo que se ve en la demostración), pero es que el teorema en sí dice que si cada $| H_i|>0$ existe un mínimo (no que $|D_i|$, esto es lo que no termino de entender)


Tu lo que estas diciendo es que $|H_i|= |D(H_i)|$ igualas el determinante de $H_i$ con el determinante de la propia matriz diagonal de H_i

No se si me expliqué bien (a lo mejor me estoy confundiendo todo cuando es algo mucho más fácil)

Muchas Gracias de nuevo

[The Higgs Particle]

Re: Duda de Algebra/ Cálculo

Sí, el teorema de la hessiana para extremos locales se basa en ver si la matriz $H$ es definida positiva (todos los autovalores de $D$ son positivos) o definida negativa (todos los autovalores de $D$ son negativos). Pero tú lo que has preguntado es por qué $signo(|H_i|) = signo(|D_i|)$ y para demostrar esto he estado trabajando con los menores.