1r ciclo Potencia de una matriz

[Take It Easy]

Hola. Veamos el siguiente ejercicio:

Determine $B^5$ siendo:


$B=\begin{pmatrix}1 &2 &3 \\ <br /> 0 & 2 &3 \\ <br /> 0 & 0 &3 <br /> \end{pmatrix}$

(Sugerencia: B es la suma de una matriz diagonal y una nilpotente)

Bien, si la matriz diagonal fuera constante, yo sé que este tipo de matrices conmuta con cualquier otra (siempre que el producto sea posible). En este caso, se podría utilizar el Binomio de Newton, además, teniendo en cuenta que la nilpotente es de orden 3, es decir, que esta matriz elevada a un número mayor o igual a 3, es nula.
Sin embargo, en este caso las matrices no conmutan y no se me ocurre cómo calcular B^5 sin hacer mil operaciones.

Es importante dejar claro que en el ejercicio, que es extraído de un libro, no se pueden utilizar diagonalizaciones ni nada por el estilo, ya que, en teoría aún no se ha mencionado ninguna técnica semejante.

Saludosss!!

[Lorentz]

Re: Potencia de una matriz

Hola, buenas

Se me ocurre descomponer, tal y como se te sugiere la matriz $B$ en dos matrices $A$ y $C$:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

$C=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Y escribir entonces:

$B^5=(A+C)^5=(A+C)^2(A+C)^2 B$

De modo que calculas una vez $(A+C)^2=A^2+AC+CA+C^2$ y sustituyes en la expresión de arriba.

Sin usar diagonalización ni cosas así, no se me ocurre otra forma más rápida, pero creo que es menos engorroso que calcular la matriz $B^5$ directamente.

No sé si te habrá ayudado algo.

Un saludo

[Take It Easy]

Re: Potencia de una matriz

Hola Lorentz. La solución que planteas está bien. Pero la sugerencia incluida en el enunciado me da a entender que se puede aprovechar el hecho de que C es nilpotente de orden 3. No sé. Igual me como mucho la bola, jaja.

Gracias y un saludo!!

[Take It Easy]

Re: Potencia de una matriz

Hola Alriga. Hay algo que no entiendo. Tenía entendido que la fórmula del binomio de Newton para matrices solo era aplicable a matrices que conmutan, y A y C no conmutan. El caso es que tu resultado es correcto. ¿Qué es lo que he entendido mal?

Saludos

[Alriga]

Re: Potencia de una matriz

... Tenía entendido que la fórmula del binomio de Newton para matrices solo era aplicable a matrices que conmutan, y A y C no conmutan ...

Tienes razón, me había liado en los cálculos olvídalo y perdona.
Saludos.

[Take It Easy]

Re: Potencia de una matriz

No lo puedo olvidar pues tu resultado es correcto!!!

[Alriga]

Re: Potencia de una matriz

No lo puedo olvidar pues tu resultado es correcto!!!

Sí, el resultado final era la 5ª potencia correcta de la matriz B, pero no salía del binomio de Newton que lleva a otro resultado, lo había calculado directamente ayer y esta mañana me he levantado espeso y lo he mezclado todo, un completo desastre, perdona,

Saludos.

[Take It Easy]

Re: Potencia de una matriz

Ah ok. jajaja. Ya pasa.

Saludos.