1r ciclo Clases, aritmética modular

[Visitante]

En el siguiente ejercicio

Resolver en ${Z}_{5 }$ el sistema de ecuaciones
x+2y=1
3x+4y=2
Las soluciones que he encontrado son que x pertenezca a la clase [0] e y a [3] ¿Está bien?

[Alriga]

Re: Clases, aritmética modular

... Las soluciones que he encontrado son que x pertenezca a la clase [0] e y a [3] ¿Está bien? ...

Es correcto, me ahorro los corchetes de clase de congruencia en todo el desarrollo excepto al final:

$\left.<br /> \begin{aligned}<br /> x+2y & = 1 \ (mod \ 5) \\<br /> 3x + 4y & = 2 \ (mod \ 5)<br /> \end{aligned}<br /> \right\}$

$x=1-2y$

$3(1-2y)+4y=2$

$3-y+4y=2$

$3+3y=2$

$2+3+3y=2+2$

$3y=4$

$2\cdot 3y=2 \cdot 4$

$\boxed{y=[3]}$

Como $x=1-2y$

$x=1-1$

$\boxed{x=[0]}$

Que también se puede escribir:

$\forall k \in \mathbb Z$

$x=5 \ k \ \wedge \ y=3+5 \ k$

Saludos.

[angel relativamente]

Re: Clases, aritmética modular

Todo correcto en el desarrollo de Alriga, solo quiero hacer una puntualización muy técnica. Si te dicen que resuelvas un sistema en $Z_5$ (o en general en $Z_n$), el sistema que te dan ya está escrito en dicho anillo (o cuerpo si n es primo). Como sabes, $Z_5$ es un conjunto de 5 elementos, generalmente representados por $\{ 0,1,2,3,4 \}$. Buscar una solución $x,y \in Z_5$ de un sistema consiste en dar dos elementos de $Z_5$ que verifiquen el sistema. En ese sentido, sería incorrecto decir "x pertenece a la clase del 0" ya que $x\in Z_5$, por lo que lo correcto sería decir, como marca alriga, "x ES la clase del 0" o aún más cómodo "$x=0$". A pesar de la construcción tan bonita que nos hacen de $Z_n$ como el conjunto cociente de $Z$ y una relación de equivalencia, normalmente cuando pensamos en $Z_n$ como anillo, tomamos $Z_n=\{0,1,\cdots, n-1 \}$ como un subconjunto de $Z$, y lo dotamos de dos operaciones suma y producto que NO son las de $Z$ (se define la suma en $Z_n$ como el resto de la división por $n$ de la suma en $Z$, e ídem con el producto). Así, el sistema que te da el enunciado, la $+$ y el $\cdot$ que utiliza ya se sobreentiende que son la suma y el producto de $Z_5$, así como los coeficientes que aparecen, por lo que la solución del sistema es $x=0 , \; y=3$. Si $Z_5$ lo escribes como $\{ [0],[1],[2],[3],[4] \}$, entonces la solución la deberías escribir $x=[0] , \; y=[3]$. Pero en tal caso el sistema en el enunciado te lo tendrían que haber dado como:

$\left.<br /> \begin{aligned}<br /> x+[2]y & = [1] \\<br /> [3]x + [4]y & = [2] <br /> \end{aligned}<br /> \right\}$

Saludos,