1r ciclo Diferencial de superficie y volumen

[Visitante]

¿Cómo se hace este ejercicio?

Calcular los elementos diferenciales de superficie y volumen en coordenadas cilíndricas y esféricas.

No sé por dónde empezar ¿Cómo se escribe una superficie en coordenadas esféricas y cilíndricas? ¿Y un volumen?

[alexpglez]

Re: Diferencial de superficie y volumen

Hola!
¿Qué definición te dieron en clase de elemento de superficie y de volúmen?

Una definición que se suele tomar mucho a niveles de cálculos muy elementales (yo no conozco otra) es la siguiente:
Si tienes una parametrización de un subconjunto de R^2 a la superficie $\vec r (u,v)$

$$d\vec A=\frac {\partial \vec r}{\partial u} \times \frac {\partial \vec r}{\partial v} du dv$$

Si al contrario tienes una parametrización de un volumen $\vec r (u,v,\omega)$

$$dV=det[ \partial_u \vec r, \partial_v \vec r, \partial_{\omega} \vec r] du dv d\omega$$

No sé si te han dado esta definición.

Saludos

[Lorentz]

Re: Diferencial de superficie y volumen

Buenas,

Una definición que se suele tomar mucho a niveles de cálculos muy elementales (yo no conozco otra) es la siguiente:
Si tienes una parametrización de un subconjunto de R^2 a la superficie

Si al contrario tienes una parametrización de un volumen


No sé si te han dado esta definición.

En efecto esa es la definición que te tendrían que dar:

Malevolex, si me permites ignorar el carácter vectorial, puesto que en cilíndricas y en esféricas es prácticamente trivial, aplicando:

$\dst dS=\left| \left | \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u} \left(u,v\right) \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v} \left(u,v\right) \right| \right| du dv$

Para calcular el diferencial de superficie de la esfera, lo que haces es usar la parametrización de la esfera con centro en $\left( x_0,y_0,z_0\right)$

$\dst \mathbf{r} (\theta,\varphi)=\left( x_0+a\sin\theta\cos\varphi,y_0+a\sin\theta\sin\varphi,z_0+a\cos\theta \right)$

Suponiendo radio constante.

De modo que haces las parciales de esta $\mathbf{r}$ con respecto $\varphi$ y $\theta$ y realizas el producto vectorial. De este modo llegas a que el diferencial de superficie de la esfera es:

$dS=a^2\sin \theta d\theta d\varphi$

En relación al volumen solamente necesitas saber el jacobiano de la transformación de coordenadas de cartesianas a las que sean.

En cilíndricas se sigue un procedimiento similar, pero con la parametrización:

$\dst \mathbf{r}=\left(a\cos\varphi,a\sin\varphi,z)$

Un saludo.