1r ciclo Álgebra lineal demostración

[Visitante]

Hola, hay un teorema que dice así
Sea ax = y un sistema con a en forma escalonada, reducida, o escalonada reducida con r las no nulas y n - r ecuaciones tipo $0 = {y}^{j }$ : Entonces tiene solución si y solo si no existen ecuaciones tipo $0 = {y}^{j }$ con $0 \neq {y}^{j }$: Cuando hay solución, esta depende de modo biúnívoco de n - r parámetros, las variables libres.


Demostración: Solo está pendiente probar que P, que lleva ${({x}^{{p}_{ 1} },...,{x}^{{p}_{r }})}^{ T}$ a ${({x}^{1 },...,{x}^{n})}^{T }$ es inyectiva. Es inmediato porque si [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] =[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , las filas de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] donde están las variables libres nos dan ${{x}_{ 1}}^{{q}_{ 1} }={{x}_{ 2}}^{{q}_{ 1} }$... ${{x}_{ 1}}^{{q}_{ n-r} }={{x}_{ 2}}^{{q}_{ n-r} }$
¿Por qué solo falta demostrar que P es inyectiva? ¿no sería que lleva a ?

Si me lo explican con otras palabras lo agradecería porque no entiendo muy bien la demostración.