1r ciclo ¿Solo las matrices cuadradas pueden ser invertibles?

[Visitante]

¿Solo las matrices cuadradas pueden ser invertibles? ¿Por qué no alguna que no sea cuadrada? ¿Cuál es la demostración?

[zhazzu]

Re: ¿Solo las matrices cuadradas pueden ser invertibles?

Por definicion $A$ tiene inversa $A^{-1}$ si $A \times A^{-1} = I = A^{-1} \times A$.

Deliberadamente no he especificado las dimensiones de ninguna matriz. Imaginemos que $A$ no es cuadrada y que por tanto es de dimension $m \times n$ con $m$ diferente de $n$.

Consideremos la siguiente parte de la definicion ($A \times A^{-1} = I$), entonces esta parte quedaria como $A_{m \times n} \times A_{n \times m} ^{-1} = I_{m}$ .

Hacemos ahora lo mismo que lo anterior pero para la segunda parte de la definicion ( $I = A^{-1} \times A$) y obtenemos lo siguiente: $I_{n} = A_{n \times m}^{-1} \times A_{m \times n}$.

Si ahora aplicamos la definicion inicial completa tenemos:$A_{m \times n} \times A_{n \times m}^{-1} = I_{m} = I_{n} = A_{n \times m}^{-1} \times A_{m \times n}$.
Esta definicion considerando la matriz $A$ no cuadrada es incorrecta ya que $I_{m} \neq I_{n}$ porque como habiamos dicho anteriormente $m$ es diferente de $n$.

Esta contradiccion deriva del hecho de considerar al principio que $A$ era una matriz no cuadrada. Por tanto $A$ debe de ser cuadrada. QED.


En el nivel que estas y en casi todos los casos se suele considerar que solo podemos hacer la inversa a matrices cuadradas. En la propia definición de inversa de una matriz, siempre se suele considerar que esta matriz es cuadrada.

Aun así cabe decir que existe una version de inversa para matrices no cuadradas llamada la 'inversa generalizada' o 'pseudoinversa'. Este tipo de inversa no conserva todas las propiedades de la matriz inversa usual. https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_inverse

[Alriga]

Re: ¿Solo las matrices cuadradas pueden ser invertibles?

... existe una version de inversa para matrices no cuadradas llamada la 'inversa generalizada' o 'pseudoinversa'. Este tipo de inversa no conserva todas las propiedades de la matriz inversa usual. https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_inverse ...

Interesante, no había oído hablar de estas "pseudoinversas", gracias y saludos.

[alexpglez]

Re: ¿Solo las matrices cuadradas pueden ser invertibles?

Leyendo el hilo he interpretado la pregunta inicial de otra manera.
¿Existen matrices $A \in M_{n\times m}(\mathbb K)$ y $B \in M_{m \times n}(\mathbb K)$ (con $n \not =m$) tales que:

$$AB=I_n \;\;\;\; BA=I_m$$

?

Según la teoría de conjuntos si $F: A \longrightarrow B$ y $G:B \longrightarrow A$ son dos funciones arbitrarias tales que $G \circ F =Id_A$, entonces F es inyectiva y G suprayectiva. Como consecuencia si además $F \circ G=Id_B$ (aplicando el teorema otra vez), F es suprayectiva, G inyectiva, luego ambas son biyectivas y además $F^{-1}=G$.

Suponiendo que existen las matrices anteriores. Definimos las siguientes funciones:

$$F:\mathbb K^m \longrightarrow \mathbb K^n \;\;\; F(x)=Ax$$

$$G:\mathbb K^n \longrightarrow \mathbb K^m \;\;\; G(x)=Bx$$

Nos da que ambas serían biyectivas y una la inversa de la otra. Veamos que F no puede ser biyectiva:
Si F es inyectiva $m=dim(K^m)=dim(ImF)$, y si es suprayectiva $ImF=K^n$ y $m=dim(ImF)=dim(K^n)=n$. Es decir que $m=n$, y hemos supuesto que son distintos. ¡Contradicción!

Saludos