1r ciclo Distancia "centralista"

[KyAlOx]

¡Saludos!

Bueno, ya he empezado (¡por fin!) mis estudios en Física, por lo que no podía tardar demasiado en preguntar algo a las mentes pensantes del foro...

Bien, en mi asignatura de Cálculo Diferencial nos han mandado probar que un espacio con una distancia determinada es un espacio métrico. Esta distancia el profesor la llama la "distancia centralista o de la RENFE" (a partir de ahora distancia r), y es: en R^2, dado un punto:

$c=(x_{c},y_{c})$,

la distancia r de un punto x a otro punto y es:

$d_{r}(x,y)=d(x,c)+d(y,c)$

donde d(x,c) es la distancia euclídea entre esos dos puntos. (Por eso el nombre en coña de centralista, porque la distancia entre dos puntos es la suma de la distancia de cada uno al centro).

Para probar que es una auténtica distancia, tengo que demostrar que cumple varias propiedades; sin embargo, se me atascan estas dos:

$d_{r}(x,y)=0 \iff x=y$
$d_{r}(x,y)\leq d_{r}(x,z)+d_{r}(y,z)$

Mi desarrollo de la primera:

$d_{r}(x,y)=d(x,c)+d(y,c)=||x-c|| + ||y-c||=0\implies x=y=c$

Es decir, que la distancia a dos puntos es cero sólo si ese punto es el que hemos tomado como centro; hasta ahí cumple la condición de izquierda a derecha de la primera propiedad; sin embargo:

$d_{r}(x,x)=d(x,c)+d(x,c)$

Lo cual evidentemente es distinto de cero. Intuitivamente, veo que tiene que haber algo mal y que la distancia de un punto a sí mismo de este modo es cero (el profesor mandó hacerlo dando por hecho que sí es una auténtica distancia). ¿En qué estoy fallando?

Probar la desigualdad triangular ya se me escapa. He probado varios caminos, pero todos fallidos. Por ejemplo:

$d_{r}(x,y)=||x-c||+||y-c||=||x-z+z-c||+||y-z+z-c|| \leq ||x-z|| + ||z-c|| + ||y-z|| + ||z-c|| = ||x-z+c-c|| + ||z-c|| + ||y-z+c-c|| + ||z-c|| \leq ||x-c|| + ||z-c|| + ||z-c||+||y-c|| + ||z-c|| + ||z-c||= d_{r}(x,z)+d_{r}(y,z) + 2d(z,c)$

En definitiva:

$d_r(x,y)\leq d_{r}(x,z)+d_{r}(y,z) + 2d(z,c)$

Lo cual es casi el resultado a obtener, salvando ese último término de ahí -_- En fin, espero no haberme equivocado al pasar mis apuntes a Latex ; gracias por adelantado por leerme, y más aún si conseguís orientarme ^.^

K.

[Dj_jara]

Re: Distancia "centralista"

Supongo que se habrá olvidado de decir (o no lo has visto en los apuntes) que si x = y $d_r(x, y) = 0$ porque sino se considera x = y como un caso especial difícilmente cumplirá los axiomas de distancia sera distancia.

Ahora la otra

$d_r(x,y) = d(x,c) + d(y,c) \leq d(x, c) + 2d(z,c) + d(y,c) = d_r(x, z) + d_r(y,z)$

[KyAlOx]

Re: Distancia "centralista"

Supongo que se habrá olvidado de decir (o no lo has visto en los apuntes) que si x = y $d_r(x, y) = 0$ porque sino se considera x = y como un caso especial difícilmente cumplirá los axiomas de distancia sera distancia.

Ahora la otra

$d_r(x,y) = d(x,c) + d(y,c) \leq d(x, c) + 2d(z,c) + d(y,c) = d_r(x, z) + d_r(y,z)$

Los apuntes de esta parte no nos los ha dado aún -_- en cualquier caso, no es que "entre" esta distancia como materia; simplemente nos dejó para demostrar que era una auténtica distancia, sin definirnos que la distancia de un punto a sí mismo es cero. Es decir, nosotros de la definición de esa distancia tenemos que probar que lo es, cosa que no consigo.

Respecto a la segunda demostración, es sencilla y a veces se me había ocurrido, pero el profesor siempre usa otros métodos no tan "directos". Le preguntaré, pero vaya, yo creo que es totalmente válida. ¡Gracias por todo!

K.