Secundaria ¿Se puede tener un espacio geométrico 2D euclideo y al mismo tiempo cuantizado?

[Visitante]

Saludos,

Tal vez sea una tonta pregunta pero quisiera saber si es posible tener al mismo tiempo un espacio geométrico euclideo en dos dimensiones y que esté cuantizado.

La interrogante surge del siguiente planteamiento:

Supongamos que mi distancia o longitud mínima de medida sea L, y que partiendo del punto de origen me desplace L unidades hacia la izquierda, para luego desplazarme L unidades hacia arriba. Entonces, ¿Cuál sería mi distancia al punto de origen?.

Según el teorema de Pitágoras debería encontrarme a una distancia de L * $\sqrt{2}$, pero no me encuentro allí con una contradicción, si el espacio está cuantizado yo debería poderme desplazar solo por valores enteros de L, 1L, 2L, 3L, etc.

¿Como haría para poder calcular la distancia desde el punto del origen al punto de llegada? si esta distancia está a un número irracional de la longitud más pequeña posible.

[Alriga]

Re: ¿Se puede tener un espacio geométrico 2D euclideo y al mismo tiempo cuantizado?

No sé, tal vez en vez de usar la métrica euclídea habitual:

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

usa la métrica del taxista:

$d=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$

Saludos.

[Visitante]

Re: ¿Se puede tener un espacio geométrico 2D euclideo y al mismo tiempo cuantizado?

Euclides planteó cinco postulados en su sistema:

1.- Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.
2.- Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
3.- Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
4.- Todos los ángulos rectos son congruentes.
5.- Si una recta corta a otras dos formando, a un mismo lado de la secante, dos ángulos internos agudos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están dichos ángulos (ver quinto postulado de Euclides).
Este último postulado, que es conocido como el postulado de las paralelas, fue reformulado como:
5.- Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela a la recta dada.

Del segundo postulado se puede sacar la conclusión de que estamos trabajando en un “espacio continuo”, lo que ya nos diría mucho sobre ahora querer tener una longitud mínima cuantizadora.

Tal como señala Alriga, se puede trabajar con otros tipos de espacio, otros tipo de métricas. Cambiando algunos de los postulados podemos reformular un espacio “no euclídeo“ como por ejemplo el que siga la “métrica del taxista”.

La pregunta que me quedaría pendiente es si en esos espacios “no euclídeos” tenga entonces algún sentido referirnos a la “Raíz Cuadrada de Dos” ($\sqrt{2}$) o al número “Pi” ($\pi$), y más aún si la nueva métrica que nos inventamos está cuantizada.

¿Cómo en un espacio geométrico cuantizado podría representarse alguna vez a un número que por definición tendrá que ser “Irracional”?

[Richard R Richard]

Re: ¿Se puede tener un espacio geométrico 2D euclideo y al mismo tiempo cuantizado?

Hola Maq77,Con respecto a tu problema, te comento como lo entiendo. Vamos por un ejemplo. Lo hago en 2 dimensiones pero es perfectamente aplicable a 3.

Si el espacio estuviera cuantizado, y tomamos un punto O como origen de un sistema de referencia, cualquier posición posible con respecto a ese sistema de referencia, en la dirección $x$ deberia respondera a

$x-X_O =n\cdot l$

donde n es un número natural
$l$ es la mínima distancia posible entre dos punto, o "cuanto" del espacio
y $X_O$ sería la posición de partida , que elegimos 0 para simplificar
asi la posición queda

$x=nl$

lo mismo sucede en la dirección y como el espacio lo suponemos isotropo, la minima distancia o cuanto sigue siendo $l$

$y=ml$

en tu ejemplo has elegido desplazar la misma cantidad de unidades en ambos ejes por lo que $n=m$ y $y=nl$

ahora bien si el espacio es euclidiano la distancia entre dos puntos se calcula como

$d=\sqrt{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}$

y con respecto al origen

$d=\sqrt{x_a^2+y_a^2}$

si reemplazas por los datos del problema ,la distancia al origen te queda

$d=\sqrt{(nl)^2+(nl)^2}=\sqrt2 nl$

como tu dices $\sqrt2$ es irracional ....pero miremos un poco que pasa.

Si suponemos isotropía para el espacio entonces no podemos decir que la direccion 45° en el espacio privilegiada para que su cuántos midan en esa dirección distinto a $l$,no!!! en esa dirección los cuantos del espacio tambien miden $l$



lo que tienes que observar es cuan grande es $n$ con respecto a $\sqrt2$,..... seguramente $n$ es muchisimos ordenes mayor, por lo que la distancia puede ser


$Int$= función que devuelve la parte entera de cualquier número

$1) x_1=Int(\sqrt2 n)l$
o bien
$2) x_2=(Int(\sqrt2 n)+1)l$

cada una de las dos posiciones es posible con una de probabilidad asociada cada una.

si $l$ es muy pequeña y $n$ muy grande a escalas macroscopicas la diferencia entre ambas es imperceptible.

Por ello las teorías que proponen la cuantización del espacio, a escalas muy próximas de la longitud del cuanto proponen que este debe dejar de ser euclideo, para salvar esas incongruencias entre lo racional e irracional con respecto a lo discreto. Es decir
cuando se mida la distancia al origen diferirá con respecto al calculo euclidiano matemáticamente exacto que se pueda prever. El error absoluto estará limitado a siempre a la distancia $\pm l$ y el relativo como dije antes tiende a cero cuando $n$ se incrementa.

[Visitante]

Re: ¿Se puede tener un espacio geométrico 2D euclideo y al mismo tiempo cuantizado?

Excelente Richard una explicación muy buena, y en la práctica es exactamente así como lo describes que hacemos funcionar las cosas. Por ejemplo, en mi monitor que se encuentra a una cierta resolución (1360x768) pixeles, yo puedo dibujar a través del programa Paint una circunferencia, o al menos algo que parezca una circunferencia si la miro lo suficientemente lejos, digamos a unos 30 centímetros de distancia o más. Para todos los efectos prácticos me sirve, incluso hasta para calcular un aproximado del valor de $\pi$.

Sin embargo me quedo con la sensación de que esto es sólo en la práctica y que no puede ser aplicado en un estudio matemático riguroso de la teoría.

Si postulo como axioma que “cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido“ automáticamente descarto la cuantización. Por otro lado, si planteo un sistema con una “L” como distancia mínima posible, entonces tengo que descartar que sea un sistema en el que pueda medir distancias con valores “reales o irracionales”.

En sistemas geométricos cuantizados deberé para hacer que las fórmulas sean rigurosamente correctas expresarlas siempre como aproximaciones cuando en ellas se involucren relaciones con valores reales o irracionales.

Hay una muy sutil diferencia entre decir que $\pi$ es igual a 3.1415... con un etcétera del tamaño que queramos, a decir que $\pi$ vale exactamente 3.1415 y nada más, porque nuestro espacio geométrico no nos permite considerar medidas más precisas de acuerdo a los axiomas con los que definimos y describimos dicho espacio inicialmente.

Entiendo que mi desconocimiento sobre el tema es grande, sé que hay toda una teoría de espacios vectoriales, topología y geometrías con muchos tipos de métricas que se pueden utilizar según nos convenga, las de Minkowski, Riemann, Euclides, por ejemplo son solo algunas de ellas.

Al final lo que intento siempre es no caer en una contradicción lógica conmigo mismo al momento de argumentar o seguir la argumentación de otros en temas relacionados con la cuantización o no del espacio, es por eso que prefiero intentar aclarar mis ideas en un plano única y exclusivamente matemático, antes de procurar extrapolar a fórmulas o ecuaciones en las que de paso les tenga que dar algún sentido “físico” real a los términos empleados.

Por lo dicho antes es que valoro tanto el poder expresar mis inquietudes en este foro, porque sé que puedo contar con respuestas de personas mucho más capacitadas que yo en estos temas y que tal vez en alguna etapa de sus vidas se enfrentaron a las mismas interrogantes.

Saludos.

[Jaime Rudas]

Re: ¿Se puede tener un espacio geométrico 2D euclideo y al mismo tiempo cuantizado?

Si postulo como axioma que “cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido“ automáticamente descarto la cuantización.

De acuerdo.

Por otro lado, si planteo un sistema con una “L” como distancia mínima posible, entonces tengo que descartar que sea un sistema en el que pueda medir distancias con valores “reales o irracionales”

No necesariamente: aun en espacios discretos (cuantizados) se puede definir la distancia de tal forma que resulte racional o irracional. Por ejemplo, si
$d=\sqrt{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}$
d puede resultar irracional, aunque las x y las y sean enteros mayores que L.

[Visitante]

Re: ¿Se puede tener un espacio geométrico 2D euclideo y al mismo tiempo cuantizado?

No necesariamente: aun en espacios discretos (cuantizados) se puede definir la distancia de tal forma que resule racional o irracuonal. Por ejemplo, si
$d=\sqrt{(x_a-x_b)^2+(y_a-y_b)^2}$
d puede resultar irracional, aunque las x y las y sean enteros mayores que L.

No digo que no se pueda calcular, lo que digo es que no hay lugar dónde representarlo dentro del espacio geométrico cuantizado.

Pongo dos ejemplos más:

a) Si quiero resolver la ecuación $x^2 + 1 = 0$ puedo calcular el resultado

$x^2 + 1 = 0$

$x^2 = -1$

$x = \sqrt{-1}$

Lo que no puedo es ubicar ese resultado en ningún lugar sobre la recta de los números reales, de manera que no lo puedo representar a no ser que me invente un espacio complejo en el que de cabida a este tipo de resultados.


b) Sobre la recta de los números reales puedo representar cada uno de los términos de la sucesión de la serie infinita

$S = \sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{2^n}$

Es decir puedo representar a ½ + ¼ + 1/8 +1/16 + …+ $\frac{1}{2^n}$ y también puedo asegurar que su límite cuando n tiende a infinito es igual a 1

Ahora sobre una recta en un espacio cuantizado con longitud mínima igual a L = 1, también puede representar la distancia desde el punto de origen al punto 1, pero no puedo ubicar ninguno de los términos parciales intermedios de la sucesión, no puedo ubicar al punto ½, por definición ese punto no existe sobre la recta cuantizada.

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De manera que pienso, y es acá dónde puede estar mi equivocación, que si en un espacio cuantizado con L=1 me muevo hacia la derecha 1 y hacia arriba 1 puedo calcular la distancia al origen, lo que no se puede es abrir un compás con exactamente la abertura del resultado obtenido para trasladar o marcar esa distancia sobre un eje de coordenadas que se base en un sistema cuantizado con L=1. Creo que por definición me podría parar en 1 ó en 2, pero no en 1 + 0.4142…., ya que 0.4142…. no existiría por definición sobre la recta del eje.


Saludos

[Jaime Rudas]

Re: ¿Se puede tener un espacio geométrico 2D euclideo y al mismo tiempo cuantizado?

No digo que no se pueda calcular, lo que digo es que no hay lugar dónde representarlo dentro del espacio geométrico cuantizado.
[...]
Ahora sobre una recta en un espacio cuantizado con longitud mínima igual a L = 1, también puede representar la distancia desde el punto de origen al punto 1, pero no puedo ubicar ninguno de los términos parciales intermedios de la sucesión, no puedo ubicar al punto ½, por definición ese punto no existe sobre la recta cuantizada.

Bueno, pero es que hablábamos de si se podía o no medir, no de si se podía representar en una recta cuantizada.

De manera que pienso, y es acá dónde puede estar mi equivocación, que si en un espacio cuantizado con L=1 me muevo hacia la derecha 1 y hacia arriba 1 puedo calcular la distancia al origen, lo que no se puede es abrir un compás con exactamente la abertura del resultado obtenido para trasladar o marcar esa distancia sobre un eje de coordenadas que se base en un sistema cuantizado con L=1. Creo que por definición me podría parar en 1 ó en 2, pero no en 1 + 0.4142…., ya que 0.4142…. no existiría por definición sobre la recta del eje.

En efecto, no se puede; pero ten en cuenta que en una recta continua tampoco puedes medir un valor irracional.

[Visitante]

Re: ¿Se puede tener un espacio geométrico 2D euclideo y al mismo tiempo cuantizado?

En efecto, no se puede; pero ten en cuenta que en una recta continua tampoco puedes medir un valor irracional.

No se puede medir o señalar, pero tiene que estar allí, si no, matemáticamente hablando la recta tendría agujeros y no cumpliría con el segundo postulado de Euclides, a diferencia de $\sqrt{-1}$ que si es seguro que no está presente.

Hay maneras de acotar la ubicación de la $\sqrt{2}$ en la recta dentro de unos límites tan cercanos como queramos.

La cuestión principal es que en la geometría Euclidiana tomamos al "PUNTO" como un ente adimensional, y me imagino por tanto que debemos guardarle la misma cortesía a una "LONGITUD MÍNIMA" de un espacio cuantizado. Nada puede existir dentro de ellos, ya que ellos son la base de todo en cada uno de los sistemas geométricos propuestos.

Seguramente que solo es mi apreciación del asunto y exista una explicación matemática más rigurosa sobre el tema, pero la desconozco.