Secundaria Espacio vectorial dual

[Alofre]

Hola, alguien podría explicar de forma relativamente sencilla lo que es un espacio vectorial dual? Yo he entendido que es aquel que dado un espacio vectorial V está conformado por los vectores `columna´ de V conjugados... pero no me acaba de quedar muy claro esto....
Gracias!!

[Visitante]

Re: Espacio vectorial dual

Es simplemente el conjunto de las funciones lineales de un espacio vectorial en K, no hay más, y este conjunto a su vez forma un espacio vectorial.

[Alofre]

Re: Espacio vectorial dual

Vale... puedes ponerme un ejemplo de función lineal de un espacio vectorial en K?

[Visitante]

Re: Espacio vectorial dual

Cógete un espacio vectorial cualquiera, por ejemplo los el espacio de los polinomios de grado n, y el cuerpo de los reales, el espacio dual será el conjunto de todas las funciones lineales de ese espacio en el cuerpo de los reales.

[angel relativamente]

Re: Espacio vectorial dual

Hola Alofre, en este pdf de dualidad y ortogonalidad resumo un poco el tema del espacio dual. Espero que te sea de ayuda.

[Schwarze97]

Re: Espacio vectorial dual

Hola,

Una confusión que suele haber mucho (sobretodo entre ingenieros) con los espacios vectoriales es la definición de vector. Un vector no tiene por qué ser la típica flechita con módulo, dirección y sentido. Los vectores son los elementos que forman un espacio vectorial. Los espacios vectoriales se construyen sobre un cuerpo (normalmente los números reales o los complejos), que se construye sobre un grupo, que a su vez se construye sobre un conjunto. Los elementos que forman este conjunto pueden ser vectores "tipo flechita", escalares (números normales), funciones (como f(x) = 2x), operadores diferenciales (como d/dx), etc. Es decir, un espacio vectorial puede estar formado por vectores "flechita", escalares, funciones, operadores diferenciales... Y estas funciones son vectores por definición al ser los elementos de un espacio vectorial. La rama de las matemáticas que estudia estos espacios de funciones se llama análisis funcional.

Resulta que el espacio vectorial dual (o simplemente espacio dual) es uno de estos espacios de funciones. El espacio dual de un espacio vectorial simplemente es el espacio formado por todas las funciones lineales que van desde dicho espacio vectorial hasta el cuerpo sobre el que está construido. A este tipo de funciones se les llama formas lineales. Por ejemplo, el espacio dual de R³ es el espacio formado por todas las funciones lineales f(x,y,z) a las que les introduces un vector de R³ (x,y,z) y te devuelven un elemento de R (un número real). De hecho hay dos tipos de espacio dual: el dual algebraico (que es el que acabo de comentar) y el dual topológico, que está formado sólo por las formas lineales de un espacio que son continuas.

A partir de aquí puedes definir los conceptos de vector dual, base dual, aplicación dual... Relacionados también con los de covariancia y contravariancia. Todo esto es fundamental para la formulación matemática de la mecánica cuántica, la relatividad especial y la general y muchas ramas de la física moderna.

Saludos!

[Alofre]

Re: Espacio vectorial dual

Muchísimas gracias por vuestras magnificas explicaciones!!