Otras carreras Calcular área de un octágono circunscrito en una circunferencia

[cristianoceli]

Hola no se me ocurre como podría calcular el área de un octágono regular circunscrito en una circunferencia de radio 1. (

He intentado usar dividir el octágono en 8 triángulos y calcular el área de un triangulo y luego multiplicarla por 8. Quedando triángulos de ángulos 45°, 67.5°, 67.5° respectivamente luego he intentado usar trigonométrica para obtener sus lados pero no llego a nada.

Alguna sugerencia


Saludos

[arivasm]

Re: Calcular área de un octágono circunscrito en una circunferencia

Conoces dos de los lados del triángulo (el radio de la circunferencia). Conoces el ángulo que forman (360º/8=45º). La altura, uno de esos lados y la mitad de la base determinan un triángulo rectángulo. Como el ángulo comprendido entre la hipotenusa y la altura es 45º/2 = 22,5º, aplica las definiciones de seno y coseno para determinar la mitad de la base y la altura. Con eso podrás calcular el área de los triángulos y entonces la del octágono. Si no me equivoco el resultado es 2,8284.

[MrM]

Re: Calcular área de un octágono circunscrito en una circunferencia

Antes de nada, comentar que la figura que tú has puesto no es un octágono circunscrito en una circunferencia. Se dice que una figura A está circunscrita en una figura B cuando todos los vértices de A tocan un vértice de B. En el caso de que B sea una circunferencia, esencialmente lo que tiene que ocurrir es que la circunferencia toque todos los vértices de la figura.

Así, un octógono circunscrito en una circunferencia estaría dentro de la misma:

(ignora lo de 50 cm )

Lo que tú has puesto es una circunferencia inscrita (no circunscrita) en un octógono. Lo comento porque el problema puede cambiar según trates con una circunferencia inscrita o circunscrita.

Aún así, las soluciones a ambos problemas pueden encontrarse aquí http://www.universoformulas.com/mate...area-octogono/.

a) En el caso de que realmente la circunferencia esté inscrita (caso de la imagen que has puesto), puedes hacer $A=4.83 L^2$, y en tu caso, $L=1$.

b) Si el dibujo está mal y el enunciado está bien (caso de la imagen que he puesto yo), tienes $A=2\sqrt{2}R^2$, y tendrías $R=1$.

Un saludo.

[cristianoceli]

Re: Calcular área de un octágono circunscrito en una circunferencia

Muchas gracias a ambos. Lo intentaré.

Saludos

- - - Actualizado - - -

Antes de nada, comentar que la figura que tú has puesto no es un octágono circunscrito en una circunferencia. Se dice que una figura A está circunscrita en una figura B cuando todos los vértices de A tocan un vértice de B. En el caso de que B sea una circunferencia, esencialmente lo que tiene que ocurrir es que la circunferencia toque todos los vértices de la figura.

Así, un octógono circunscrito en una circunferencia estaría dentro de la misma:
[ATTACH=CONFIG]13391[/ATTACH]
(ignora lo de 50 cm )

Lo que tú has puesto es una circunferencia inscrita (no circunscrita) en un octógono. Lo comento porque el problema puede cambiar según trates con una circunferencia inscrita o circunscrita.

Aún así, las soluciones a ambos problemas pueden encontrarse aquí http://www.universoformulas.com/mate...area-octogono/.

a) En el caso de que realmente la circunferencia esté inscrita (caso de la imagen que has puesto), puedes hacer $A=4.83 L^2$, y en tu caso, $L=1$.

b) Si el dibujo está mal y el enunciado está bien (caso de la imagen que he puesto yo), tienes $A=2\sqrt{2}R^2$, y tendrías $R=1$.

Un saludo.

Gracias por la aclaración. El enunciado del ejercicio decia calcule el area del octagono en la siguiente figura. Yo con mis conocimientos de gemetria pense que estaba circunscrito (por lo visto errado).
Saludos

[Richard R Richard]

Re: Calcular área de un octágono circunscrito en una circunferencia

Si la circunferencia tiene radio 1 entonces su superficie es $\pi$ y el valor de la superficie del octágono debe ser al menos superior a ese valor



si r es el radio la longitud de un lado L es y $\theta$es la mitad del angulo entre vértices 22.5°

$L=\dfrac{r}{\cos \theta}$

si un lado tiene longitud r , el otro lado del triangulo es

$L_2=L\sin\theta$

por lo que $L_2=r\tan\theta$


la superficie de un triangulo es base por altura sobre 2

$S_t=\dfrac{r\cdot r\tan\theta}{2}=\frac 12r^2\tan\theta$

luego la superficie del octógono son 16 superficies de ese triángulo

$S=16 S_t=8r^2\tan\theta=8\cdot 0.41=3,3137>\pi$ cqd

[MrM]

Re: Calcular área de un octágono circunscrito en una circunferencia

Si la circunferencia tiene radio 1 entonces su superficie es $\pi$ y el valor de la superficie del octagono debe ser al menos superior a ese valor

[ATTACH=CONFIG]13401[/ATTACH]

si r es el radio la longitud de un lado L es y $\theta$es la mitad del angulo entre vértices 22.5°

$L=\dfrac{r}{\cos \theta}$

si un lado tiene longitud r , el otro lado del triangulo es

$L_2=L\sin\theta$

por lo que $L_2=r\tan\theta$


la superficie de un triangulo es base por altura sobre 2

$S_t=\dfrac{r\cdot r\tan\theta}{2}=\frac 12r^2\tan\theta$

luego la superficie del otogono son 16 superficies de ese triangulo

$S=16 S_t=8r^2\tan\theta=8\cdot 0.41=3,3137>\pi$ cqd

Totalmente cierto. De hecho, se llega al mismo resultado que en la página que he enlazado, sólo que con las prisas me he dejado llevar por la notación y en mi comentario he cometido un fallo. Lo que yo he llamado L es lo que en la web llaman ap (apotema), mientras que lo que en la web llaman L es el lado del octógono.

Teniendo en cuenta esto, sí que obtengo el resultado que mencionas.
Sin tu intervención, no me habría dado cuenta del error tan desastroso que he cometido. Como suele decirse: vísteme despacio, que tengo prisa

¡Gracias!