1r ciclo Geometría analítica en el espacio

[KarenT]

Saludos, quisiera solicitar su ayuda con dos problemas, lo cierto es que llevo días pensándolos y me empieza a frustrar un poco dado que son aparentemente simples

1) Sea A un vector no nulo, c un número y Q un punto. Sea R el punto de intersección de la recta que pasa por Q en la dirección de A con el plano $X \cdot A=c$ Demostrar que todos los puntos P del plano se tiene $\parallel Q-R\parallel \leqslant \parallel Q-P\parallel$

[alexpglez]

Re: Geometría analítica en el espacio

Supongo que lo complicado es el segundo apartado. En el primero, realmente no necesitas la información que te piden, pues, siempre se cumple que:

$$||\vec v+\vec w||\leq ||\vec v||+||\vec w||$$

Sustituyes $\vec v=Q-P$, $\vec w=P-R$ y entonces $\vec v+\vec w=Q-R$ y ya tienes la desigualdad.

La desigualdad que he puesto sin demostración se deduce fácilmente para la norma euclídea:

$$||v+w||^2=(v+w)\cdot (v+w)=||v||^2+||w||^2+2v\cdot w$$

$$\leq ||v||^2+||w||^2+2||v||||w||=(||v||+||w||)^2$$

Saludos

[KarenT]

Re: Geometría analítica en el espacio

[FONT=Verdana]Hola, agradezco el aporte sin embargo el teorema no ofrece una solución pues en la parte de la derecha nos queda la norma que deseamos más un número, lo cual no asegura que en efecto se cumpla desigualdad deseada a menos que P y R sean el mismo punto.[/FONT]