2o ciclo Pseudotensor o tensor de Levi-Civita

[Lorentz]

Hola buenas tardes,

Querría aclarar una duda que tengo acerca del Levi-Civita. En primer lugar sabemos que el símbolo de Levi-Civita es independiente de la carta utilizada (por definición) y que toma valores $+1$ cuando la permutación es par, $-1$ cuando es impar y en cualquier otro caso. Este símbolo puede comprobarse que no se transforma como un tensor. Sin embargo, puede construirse un tensor (o pseudotensor, he ahí mi duda) que tiene en cuenta la carta utilizada:

$\dst \varepsilon_{\alpha_1...\alpha_n}=\sqrt{\mid g\mid} \hspace{0,2 cm} \epsilon_{\alpha_1...\alpha_n}$

Siendo $\dst \varepsilon_{\alpha_1...\alpha_n}$ el tensor (pseudotensor) de Levi-Civita, $\dst \epsilon_{\alpha_1...\alpha_n}$ el símbolo de Levi-Civita y $g$ el determinante de la 1ª Forma Fundamental.

No he conseguido realizar una demostración que me permitiera elegir una de estas dos opciones o saber qué es en realidad.

Sé que al hacer un difeomorfismo con la interseción de dos abiertos $V$ y $W$ la métrica se transforma:

$\dst \bar{g}_{\alpha \beta}=\frac{\partial u^{\mu}}{\partial \bar{u}^{\alpha}} \hspace{0,1 cm} \frac{\partial u^{\nu}}{\partial \bar{u}^{\beta}} \hspace{0,1 cm} g_{\mu \nu}$

Llamando $\dst D=det\left( \frac{\partial u^{\alpha}}{\partial \bar{u}^{\beta}} \right)$ sabemos que el determinante de la 1ª Forma Fundamental varía de acuerdo a:

$\dst \bar{g}=D^2 g$

Además si se efectúa al símbolo de Levi-Civita una transformación tensorial se obtiene:

$\dst \bar{\epsilon}_{\alpha_1...\alpha_n}=D \hspace{0,2 cm} \epsilon_{\alpha_1...\alpha_n}$

Aquí viene mi duda, según algunas fuentes, este tensor es realmente un pseudotensor pues aseguran que se transforma de manera similar a un tensor pero cambiando de signo en función del determinante de $D$. Sin embargo, en otras fuentes he leído que se trata de un tensor totalmente antisimétrico.

Intentando realizar la transformación he conseguido obtener lo siguiente:

$\dst \bar{\varepsilon}_{\alpha_1...\alpha_n}=sgn\left( D \right) \sqrt{\mid \bar{g} \mid} \hspace{0,2 cm} \epsilon_{\alpha_1...\alpha_n}$

Sin embargo, para llegar a la conclusión de que sea un pseudotensor me debería salir, si no me equivoco:

$\dst \bar{\varepsilon}_{\alpha_1...\alpha_n}=sgn\left( D \right) \sqrt{\mid \bar{g} \mid} \hspace{0,2 cm} \bar{\epsilon}_{\alpha_1...\alpha_n}$

Y para que fuera un tensor debería ser:

$\dst \bar{\varepsilon}_{\alpha_1...\alpha_n}=\sqrt{\mid \bar{g} \mid} \hspace{0,2 cm} \bar{\epsilon}_{\alpha_1...\alpha_n}$

Espero que podáis echarme un cable para ver en qué estoy fallando

Un saludo

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Hola, acabo de darme cuenta de que no estaba fallando sino que se me había olvidado la cosa más estúpida, que era asumir lo siguiente $\dst \bar{\epsilon}_{\alpha_1...\alpha_n}=\epsilon_{\alpha_1...\alpha_n}$ porque por definición el símbolo de Levi Civita es independiente de la carta. De este modo vemos que en efecto es un pseudotensor y no un tensor, aunque no sé por qué he encontrado tantos sitios en los que se le llama tensor. Imagino que será porque en esos textos se asume que la transformación conserva la orientación.

Disculpad las molestias.