1r ciclo Demostración espacios métricos

[KyAlOx]

(Llamo así al topic por no llamarlo "Otra demostración más" xD verdaderamente no sabría cómo llamarlo).

Bueno, se me ha atascado otra demostración de Cálculo diferencial, creo que os voy a dar bastante la tabarra con el tema xD creo que es sencilla y tengo otra muy parecida hecha, pero no acabo de sacarla:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

(En realidad se puede sustituir x-y por z perfectamente, pero bueno, os lo copio tal cual).

He intentado varios caminos que me parece que me dejan cerca del resultado, pero...agradecería alguna pista para saber cómo empezar. Es decir, qué camino escoger

K.

[carroza]

Re: Demostración espacios métricos

Haz el cuadrado de los dos terminos de la igualdad.

En el primer término, tendrás la suma de distancias al cuadrado (lo que tienes en el segundo), más terminos cruzados (productos de una distancia por otra), que son definidos positivos.

[KyAlOx]

Re: Demostración espacios métricos

Haz el cuadrado de los dos terminos de la igualdad.

En el primer término, tendrás la suma de distancias al cuadrado (lo que tienes en el segundo), más terminos cruzados (productos de una distancia por otra), que son definidos positivos.

Pero, si elevo todo al cuadrado, ¿no me queda en el primero la suma al cuadrado de las distancias en vez de la suma de distancias al cuadrado? (vaya lío xD) quiero decir, me parece que queda

$(\sum_{i=1}^n |x_{i}-y_{i}|)^2\geq\sum_{i=1}^n(x_{i}-y_{i})^2$

Lo cual veo intuitivamente que es cierto (el primer término es el cuadrado de n sumandos), pero creo que no acabo de demostrarlo y eso que estoy escribiendo cosas sin parar en un folio. Me parece que se me escapa alguna cosa simple y cuando lo vea me parecerá una bobada, xD.

K.

[Dj_jara]

Re: Demostración espacios métricos

Un consejo, usando el binomio de newton desarrolla $(a+b)^2 = a^2 + b^2 +ab > a^2 + b^2$
haz eso con $(a+b+c)^2$
$(a+b+c+d)^2$ ...

Y fácilmente veras la relación que hay, extiéndela para n sumando, lo cual no te costara mucho demostrarlo luego por inducción, y ya veras que fácil se queda esa demostración.

[KyAlOx]

Re: Demostración espacios métricos

Vale, le pregunté al profesor y era como tú decías, carroza, pero no lo estaba haciendo bien yo ^.^U ¡gracias a los dos en cualquier caso!

K.